62. 不同路径

1. 题目

62. 不同路径

2. 描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

示例 1:

输入: m = 3, n = 2

输出: 3

解释:

从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右
   示例 2:

输入: m = 7, n = 3

输出: 28

3. 实现方法

3.1 方法 1

3.1.1 思路

动态规划，分三步走：

1. 定义数组元素含义： 定义 dp[i][j] 是机器人从左上角走到 (i, j) 时，共有 dp[i][j] 中方案；
2. 找到关系数组元素间的关系式： 要到达 (i, j)，一种是从 (i - 1, j) 走一步就到，另一种是从 (i, j - 1) 走一步到达，因此关系是为两种情况相加：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]；
3. 找出初始值： 初始值即边界条件，当我们在最上面一行或者最左边一列时，此时都只有一种方案，我们就将其值初始化为 1；

3.1.2 实现

public int uniquePaths(int m, int n) {
     

    if(m <= 0 || n <= 0){
     
        return 0;
    }

    int[][] dp = new int[m][n];

    // 边界情况，初始值
    // 1. 最上方
    for(int i = 0; i < m; i++){
     
        dp[i][0] = 1;
    }

    // 2. 最左方
    for(int i = 0; i < n; i++){
     
        dp[0][i] = 1;
    }

    // 元素间的关系
    for(int i = 1; i < m; i++){
     
        for(int j = 1; j < n; j++){
     
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        }
    }

    return dp[m - 1][n - 1];
}