算法基础：NP完全问题

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相信稍微做过一点学术研究的都不会对“NP完全问题”这个概念感到陌生。它是千禧难题之首。

对于NP完全问题的定义，百度百科是这样给出的：NP完全问题(NP-C问题)，是世界七大数学难题之一。 NP的英文全称是Non-deterministic Polynomial的问题，即多项式复杂程度的非确定性问题。简单的写法是 NP=P？，问题就在这个问号上，到底是NP等于P，还是NP不等于P。

通俗地来说，有些计算问题是确定性的，比如加减乘除之类，你只要按照公式推导，按部就班一步步来，就可以得到结果。但是，有些问题是无法按部就班直接地计算出来的。一般这种无法按部就班计算出来的问题，只能通过穷举法等暴力的方法来解决。

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1、旅行商问题

对于NP完全问题，有一个经典的例子，就是旅行商问题。

假如你是一个旅行商，需要前往5个不同的城市，当然，你希望找出前往这5个城市的最短路径。为此，你必须计算每条可能的路径，然后一一对比。

那么这里就不得不考虑一个问题了，前往5个城市，可能的路径有多少条呢？

为了解决这个问题，我们先来考虑只有两个城市的情形，然后依次增加城市数量。

2个城市：

对于两个城市，可供选择的路径有两条，如下图所示：

 

这里可能会有一点争议，那就是理论上来说，从A到B和从B到A应该是相同的，但是实际生活中经常会遇到单行道，所以我们在这里认为从A到B和从B到A不同。

于是，涉及两个城市时，可能的路线有两条。

3个城市：

现在增加一个城市，我们考虑有3个城市的情况。

此时，我们需要首先考虑从哪一个城市出发，有3种情况，而从每个城市出发时，都有两条不同的路线，所以总共有6条路线：

 

4个城市：

接下来是4个城市的情况。

我们依然是首先考虑从哪个城市出发，于是有4种情况，而选定了出发城市之后，便剩下3个城市，这3个城市的可能路径为6条，所以在选定出发城市的情况下，又分别有6条不同的路径，所以总路径数为4*6=24条。

这里就不详细画出来了。

其实这个问题不难看出来是一个数字阶乘的问题，即涉及n个城市时，可能的路径条数为n!条。

所以前面我们提出的问题就可以有解了，即5个城市时，可能的路线有5!=1*2*3*4*5=120条！

于是，为了寻找这5个城市的最优路线，我们需要遍历120种可能路线，然后一一对比来获取最优路线！

如果你认为这并不是一个多么困难的事情，那么试想一下如果是10个城市呢？10!=3628800。也就是说，你需要计算的可能路线超过300万条。很明显，这很难。

旅行商问题总结一下就是：你需要计算所有的解，并从中选出最小/最短的那一个。为此你必须遍历所有可能，然后一一比对。

旅行商问题就是一个很经典的NP完全问题。

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2、集合覆盖问题

还有一种很典型的NP完全问题称为集合覆盖问题。

假设你正在为一个虚构的橄榄球队挑选队员，报名的球员名单如下图所示：

 

该名单无非就是各个报名选手具备的各种橄榄球技巧。

当然，为了组成一支有实力的球队，我们不可能光挑选一个方面的球员，自然是要挑选各个方面的优秀球员，而且由于名额有限，我们必须在已有的资源中选择一个最优的球员组合。

于是，我们需要列出一个需要的橄榄球技巧清单：优秀的四分卫，优秀的跑卫，擅长雨中作战，能承受压力，等等等等。

在现有的报名选手中，我们根据上面列出的技巧清单来寻找一个最优的球员组合。

面对这个问题，我们可以使用贪婪算法来解决：

1. 找出符合最多要求的报名选手。
2. 不断重复这个过程，直到球队满足要求或者球队名额已满。

很明显，这是一个集合覆盖问题，根据上面的报名清单我们可以获得以下的集合：

 

这是只有几个人的情况，如果报名人数多了，这个集合覆盖问题会非常复杂。我们必须一次次找出覆盖面积（或覆盖关键词）最多的集合，直到满足条件。

集合覆盖问题也是一个很典型的NP完全问题。

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3、如何识别NP完全问题

既然NP完全问题是多项式复杂程度的非确定性问题，简言之就是难解决的问题，自然也是难判别的。

其实，根本没有一个定理来判断一个问题是否是NP完全问题。只是，还是有很多线索可以帮助我们来做识别的。这些线索罗列如下：

• 元素较少时算法的运行速度非常快，但随着元素数目的增加，速度会变得非常慢。
• 涉及“所有组合”的问题通常是NP完全问题。
• 不能采用分治法的思想将大问题分解成小问题，必须考虑各种可能情况，这很可能是NP完全问题。
• 如果问题涉及“序列”或“集合”，并难以解决，很可能就是NP完全问题。
• 如果问题可转换为旅行商问题或集合覆盖问题，那就肯定是NP完全问题。