Bzoj2839:集合计数:组合数学+容斥

题目链接:集合计数

答案是含有至少k个的-至少k+1个的+至少k+2个的……

从n个数中选出k个作为交集中的数,是C(n,k)，这样的集合共有2^(2^(n-k))-1个

2^(n-k)是包含选定的k个数的可选集合的数量，选取方案有2^(2^(n-k))-1个(不能有空集否则无法保证k个元素)

所以ans=C(n,k)*C(k,k)*(2^(2^(n-k))-1)-C(n,k+1)*C(k+1,k)*2^(2^(n-k-1)

没用线性求逆元真是慢死……

#include
#include
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#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1000000007;
const int maxn=1000010;
int fac[maxn],inv[maxn],n,k;
ll ans=0;

int quick_pow_mod(int x,int y,int mod){
	int ret=1;
	while (y){
		if (y&1) ret=1ll*ret*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod; y>>=1;
	}return ret;
}

ll C(int n,int m){
	return 1ll*fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}

ll calc(int x){
	return C(n,x)*C(x,k)%mod*(quick_pow_mod(2,quick_pow_mod(2,n-x,mod-1),mod)-1)%mod;
}

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	fac[0]=1;
	for (int i=1;i<=n;++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	inv[0]=1;
	for (int i=0;i<=n;++i) inv[i]=quick_pow_mod(fac[i],mod-2,mod);
	int cur=1;
	for (int i=k;i<=n;++i){
		ans+=cur*calc(i);
		if (ans>=mod) ans-=mod;
		else if (ans<=-mod) ans+=mod;
		cur=-cur;
	}
	ans%=mod;
	printf("%lld",(ans+mod)%mod);
}