取模运算与取余运算区别联系 及 在ACM中的应用

综述：

取模运算（“Modulo Operation”）和取余运算（“Complementation ”）两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。

取模主要是用于计算机术语中。取余则更多是数学概念。

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取模运算

 

定义：

给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 ：

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其中 k、r 是整数，且 0 ≤ r < p，则称 k 为 n 除以 p 的商，r 为 n 除以 p 的余数。

 

乍一看和求在定义上算没什么太大的区别，但是实际大有不同。

说明：

1. 同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做 或者a ≡ b (mod p)。

2. n % p 得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。

 

 

与取余运算区别

对于整型数a，b来说，取模运算或者求余运算的方法都是：

1.求 整数商： c = a/b;

2.计算模或者余数： r = a - c*b.

但他们在计算时候两者的不同点只有一个

• 取余运算在计算商值向0方向舍弃小数位
• 取模运算在计算商值向负无穷方向舍弃小数位

同时，也可以这样理解：

• 取余，遵循尽可能让商的绝对值小的原则
• 取模，遵循尽可能让商小的原则

即取余（rem）和取模（mod）在被除数、除数同号时，结果是等同的，但是当a,b异号时会有区别，所以要特别注意异号的情况。

例如：

就 a = 7, b = 4 情况而言

c = 7 / 4；

求整数商c，如进行求模运算c = -2（向负无穷方向舍入），求余c = -1（向0方向舍入）；

则  7 mod 4 = 3（商 = 1 或 2，1<2，取商=1）；  7 rem 4 = 3（商 = 1 或 2，1<2，取商=1）。 

同理

7mod 4 = 1（商 = -1 或 -2，-2<-1，取商=-2）

7 mod -4 = -1（商 = -1或-2，-2<-1，取商=-2）

-7 mod -4 = -3（商 = 1或2，1<2，取商=1）

归纳：当a和b符号一致时，求模运算和求余运算所得的c的值为正且一致，因此结果一致，但c为负则不同。

 

另外还有一点小区别：

另外各个环境下%运算符的含义不同，比如c/c++，java 为取余，而python则为取模。

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编程中模运算常用性质

1.） n % p 得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。

2.） 运算规则

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

1. (a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）

2. (a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）

3. (a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

4. a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）

ps： 前四个很常用。

另附：

• 结合律：

  ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

• 交换律：

  (a + b) % p = (b+a) % p （7）

(a * b) % p = (b * a) % p （8）

• 分配律：

  (a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p （9）

  ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （10）

重要定理

• 若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（11）

• 若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（12）

• 若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

  (a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （13）

 

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经常采用模运算求解的问题（ACM）

1. ▪ 判别奇偶数
2. ▪ 判别素数
3. ▪ 求最大公约数
4. ▪ 水仙花数
5. ▪ 模幂运算
6. ▪ 《孙子问题(中国剩余定理)》
7. ▪ 凯撒密码

（以后会开文章详细说）