树和二叉树(一):认识树和二叉树

1.树的定义

• 树(Tree):n个结点的有限集.任意非空树中:

• 有且仅有一个根(root)节点

• 其余结点划分为多个互不相交的有限集,每个集合称为根节点的子树(sub_tree)

• 树的表示法

• 图示法

• 集合表示法

• 广义表表示法

• 缩进表示法
  

• 结点分类

• 计算机角度:终端节点和非终端节点

• 树的特征:根节点,分支节点,叶子结点

• 族谱关系:双亲结点和孩子节点,祖先结点和子孙结点,兄弟结点和堂兄弟结点.

• 度

• 结点的度:与该节点连接的孩子结点数目

• 树的度:树的结点度的最大值

• 深度

• 结点的深度:从根节点开始到这个结点的层数

• 树的深度:树的结点层次的最大值

• 有序树和无序树

• 有序树:子树从左到右有序

• 无序树

• 有向树与无向树

• 有向树:树的每个分支有方向

• 无向树

• n元树:树的度为n的树

• 位置树:一棵有向树,树中结点的孩子节点的位置不能改变

• m叉树:树的度为m的有向位置树

• 森林:m棵互不相交的树的集合

2.树的基本操作

• InitTree(T)-------------构造一棵空树T
• ClearTree(T)-----------清空树T
• TreeEmpty(T)-----------判断是否为空树
• TreeDepth(T)-----------树的深度
• InsertChild(T,p,i,c)----数T中插入子树c,成为p指向的结点的第i棵子树
• DeleteChild(T,p,i)-------删除数T的p指向的结点的第i棵子树
• TraverseTree(T)-----------按照某个次序访问结点

3.二叉树定义

• 二叉树:特殊有向树,二元位置树
• 特点
• 某个结点至多有两个孩子节点,某个孩子节点有自己的位置关系
• 二叉树有左右之分,次序不能颠倒
• 二叉树的形态
  

4.二叉树性质

二叉树有以下几个性质：TODO(上标和下标)

• 性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 2{i-1} (i≥1)

证明：下面用"数学归纳法"进行证明。

• 当i=1时，第i层的节点数目为2{i-1}=2{0}=1。因为第1层上只有一个根结点，所以命题成立。
• 假设当i>1，第i层的节点数目为2{i-1}。这个是根据(01)推断出来的！
  下面根据这个假设，推断出"第(i+1)层的节点数目为2{i}“即可。
  由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，故"第(i+1)层上的结点数目” 最多是 “第i层的结点数目的2倍”。即，第(i+1)层上的结点数目最大值=2×2{i-1}=2{i}。
  故假设成立，原命题得证！
• 性质2：深度为k的二叉树至多有2{k}-1个结点(k≥1)

证明：在具有相同深度的二叉树中，当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。利用"性质1"可知，深度为k的二叉树的结点数至多为：
20+21+…+2k-1=2k-1
故原命题得证！

• 性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为log2 (n+1)

• 证明：根据"性质2"可知，高度为h的二叉树最多有2{h}–1个结点。反之，对于包含n个节点的二叉树的高度至少为log2(n+1)。

• 性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1

• 证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，所以结点总数(记为n)=“0度结点数(n0)” + “1度结点数(n1)” + “2度结点数(n2)”。由此，得到等式一。
  (等式一) n=n0+n1+n2
  　 另一方面，0度结点没有孩子，1度结点有一个孩子，2度结点有两个孩子，故二叉树中孩子结点总数是：n1+2n2。此外，只有根不是任何结点的孩子。故二叉树中的结点总数又可表示为等式二。
  (等式二) n=n1+2n2+1
  由(等式一)和(等式二)计算得到：n0=n2+1。原命题得证！

• 满二叉树

• 定义：高度为h，并且由2{h} –1个结点的二叉树，被称为满二叉树。
  

• 性质5: 如果n个节点的完全二叉树的节点按照层次并按从左到右的顺序从0开始编号，对于任一个结点都有：

• 序号为0的节点是根

• 对于i>0，其父节点的编号为(i-1)/2。

• 若2·i+1

• 若2·i+2

• 完全二叉树

• 定义：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。

• 特点：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。
  

• 二叉查找树

• 定义：二叉查找树(Binary Search Tree)，又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。

在二叉查找树中：

• (01) 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
• (02)任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
• (03) 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
• (04)没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。