数学基础之平方和公式

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一、平方和公式

1.介绍

\quad 平方和公式是一个比较常用公式，用于求连续自然数的平方和（Sum of squares），其和又可称为四角锥数，或金字塔数（square pyramidal number）也就是正方形数的级数。

\quad 此公式是冯哈伯公式(Faulhaber’s formula)的一个特例。

2.公式

核心：$1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

其他：

$\sum _{k=1}^n{k}^2=1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\sum _{k=1}^n{k}^2=C_{n+2}^3+C_{n+1}^3=\frac{1}{4}{C}_{2n+2}^3=n{C}_{n+1}^2-C_{n+1}^{3|}$
　　

3.证明方法

（1）证法一（归纳猜想法）

1、 n=1时，$1=\frac{1(1+1)(2\times 1+1)}{6}=1$

2、 n=2时，$1+2^2=\frac{2(2+1)(2\times 2+1)}{6}=5$

3、设 $n=k(k\in \mathbb{Z},k\ge 2)$时，公式成立，即 $1^2+2^2+3^2+\cdots +k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$，则当n=k+1时，

$1^2+2^2+3^2+\cdots +k^2+(k+1{)}^2$

$=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1{)}^2$

$=\frac{(k+1)[k(2k+1)6(k+1)]}{6}$

$=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}$

$=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

$=\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}$

也满足公式

根据数学归纳法，对一切自然数n有$1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$成立。

（2）证法二（利用恒等式）

恒等式：$(n+1{)}^3=n^3+3n^2+3n+1$

所以$(n+1{)}^3-n^3=3n^2+3n+1$，$n^3-(n-1{)}^3=3(n-1{)}^2+3(n-1)+1$

$\cdots$

$3^3-2^3=3\times 2^2+3\times 2+1$

$2^3-1^3=3\times 1^2+3\times 1+1$

求和得：$(n+1{)}^3-1=3(1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2)+3(1+2+3+\cdots +n)+n$

由于$1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

代入上式得：

$(n+1{)}^3-1=(n+1{)}^3-1=3(1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2)+3\frac{n(n+1)}{2}+n$

整理后得：

$1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

（3）证法三（）

令

=
因为
所以，

证法四　（排列组合法）：
由于 ，
因此我们有
　　=
由于 ， ，
于是我们有
证法五 （拆分，直接推导法）：
1=1
2²=1+3
3²=1+3+5
4²=1+3+5+7
…
(n-1)²=1+3+5+7+…+[2(n-1)-1]
n²=1+3+5+7+…+[2n-1]
求和得：

……(*)
因为前n项平方和与前n-1项平方和差为n²

代入(*)式，得：

此式即

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参考：
https://baike.baidu.com/item/平方和公式/3264126?fr=aladdin