[题解]bzoj3143(HNOI2013)游走

Description

一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。
小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。
现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

Input

第一行是正整数N和M，分别表示该图的顶点数 和边数，接下来M行每行是整数u，v(1≤u,v≤N)，表示顶点u与顶点v之间存在一条边。 输入保证30%的数据满足N≤10，100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。

Output

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留3位小数。
Sample Input
3 3
2 3
1 2
1 3

Sample Output

3.333

Solution

我们很容易可以写出某点到达的概率和他周围点的概率之间的线性方程，即 pi=∑pj ，j是所有与i相连的点，但是注意1号点的到达概率要加上100%，n号点的概率始终为0（进去就不会出来了，不会对周围点造成影响）。然后我们就可以构建n个关于n个点的到达概率的线性方程组，用高斯消元求解即可。若无向边i连接点u、v，那么边i的到达概率 ei=pu∗digitu+pv∗digitv ，其中digit为该点度数。然后我们就能利用点的到达概率求出边的到达概率了。按照贪心把大边权分给几率小的边即可。

代码：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;

const int maxn=510,maxm=maxn*maxn;
const double eps=1e-10;
int n,m,e[maxn][maxn],num[maxn][maxn],top,digit[maxn];
double a[maxn][maxn],b[maxn],val[maxm],ans;

void Gauss(){
    double temp;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int maxx=i;
        for(int j=i;j<=n;j++){
            if(fabs(a[j][i])>eps&&fabs(a[j][i])>fabs(a[maxx][i]))maxx=j;
        }
        if(maxx!=i){
            swap(a[maxx],a[i]);
            swap(b[maxx],b[i]);
        }
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            if(fabs(a[j][i])>eps){
                temp=a[j][i]/a[i][i];
                for(int k=i;k<=n;k++){
                    a[j][k]-=temp*a[i][k];
                }
                b[j]-=temp*b[i];
            }
        }
    }
    for(int i=n;i>=1;i--){
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            b[i]-=a[i][j]*b[j];
        }
        b[i]/=a[i][i];
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1,u,v;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        e[u][++digit[u]]=v;
        e[v][++digit[v]]=u;
        num[u][digit[u]]=++top;
        num[v][digit[v]]=top;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i][i]=1;
        if(i==n)continue;
        for(int j=1;j<=digit[i];j++){
            a[i][e[i][j]]-=1.0/digit[e[i][j]];
        }
        if(i==1)b[i]=1;
    }
    Gauss();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=digit[i];j++){
            val[num[i][j]]+=b[i]/digit[i];
        }
    }
    sort(val+1,val+m+1);
    for(int i=1,tp=m;i<=m;i++,tp--){
        ans+=tp*val[i];
    }
    printf("%.3lf\n",ans);
    return 0;
}