【题解】星空【状压DP】

这道题思维难度非常高，有很多处理的小技巧，并且代码也有很多细节 ；

第一步

这道题是一种序列的区间操作，我们都知道，区间操作比较麻烦，所以我们要想办法将区间操作转换成单点修改；
这时，我们想到了差分，假如我们对一个序列进行操作，这时一个序列里的相对状态不会变只有两端改变，换句话说就是这个序列的差分并不会发生改变，只有两端的差分数组会发生变化。但这里的差分并不是差
而是异或；对一个区间[l,r]进行修改操作就是将差分数组c[l],c[r+1]取反,最后我们的目标就是要将差分数组全部变成0；
但这里就有一个细节：差分数组全部变成0的意思就是所有的状态都是一样的，但有可能全部亮或者全不亮；这里我们要假设第0个灯泡是亮的；然后差分出来才是合法的全亮状态；
还有一个细节：差分数组要开到n+1来保证至少有偶数个数的1，这样才能消去 ；
所以我们就这样完成了第一步，将区间修改转化成单点修改；

第二步

处理出来差分数组之后，我们就要将这个序列全部变为0 ；
有两种情况；一个0一个1，这样操作之后1的个数没有变 ；
两个都是1，这种情况就是减少两个1

但大多数情况并不能一次操作就完成，因为只能操作m种长度 ；
所以实际情况是1先和一些0交换，然后两个1一起消去 ；
所以对所有1跑一边BFS处理出到与其他1消去所需要的步数；
bfsO(n)就可以完成；

第三步

处理完每个1与其他1消去之后，就要考虑如何选择使其代价最少 ；
我们可以注意到其实原来的1很少不超过16个，于是我们可以开始考虑状压DP ；
我们反着DP；
dp[i]表示状态为i到状态为0所需要的最小步数 ；
初始化dp[0]=0 ;
然后倒着枚举点亮哪两个灯，（因为倒着来是点亮，正着来就是消去两个灯）
然后点亮完了的状态就是i|(1< 然后就可以得到DP转移方程：
int now=(i|(1< dp[now]=min(dp[now],dp[i]+getdis(fir+1,j+1)) ;

最后再输出dp[最初的状态] ；

到此，这道题就顺利的解决了；
具体细节请看代码：

#include

using namespace std;

const int maxn = 40101 ;
int n,k,m ;
int a[maxn],c[maxn],dis[20][maxn] ;
int len[maxn],sta[maxn],top=0 ;
int dp[1<<17] ;
bool vis[maxn] ;

inline void read(int &x)
{
	int f=1 ;x=0 ;char s=getchar() ;
	while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1 ;s=getchar() ;	}
	while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0' ;s=getchar() ;	}
	x*=f ;
}


void bfs(int s,int *dis)
{
	memset(vis,0,sizeof(vis)) ;
	queue<int>q ;
	dis[s]=0 ;vis[s]=1 ;q.push(s) ;
	while(q.size())
	{
		int x=q.front() ;q.pop() ;
		for(int i=1;i<=m;++i)
		{
			int y=x-len[i] ;
			if(y>0&&!vis[y])
			{
				vis[y]=1;
				dis[y]=dis[x]+1 ;
				q.push(y) ;
			}
			y=x+len[i] ;
			if(y<=n+1&&!vis[y])
			{
				vis[y]=1 ;
				dis[y]=dis[x]+1 ;
				q.push(y) ;
			}
		}
	}
}

int getdis(int x,int y)
{
	return dis[x][sta[y]] ;
}
int main()
{
	
	//freopen("starlit.in","r",stdin) ;
	//freopen("starlit.out","w",stdout) ;
	read(n) ;read(k) ;read(m) ;
	memset(a,1,sizeof(a)) ;
	for(int i=1;i<=k;++i)
	{
		int x ;read(x) ;
		a[x]=0 ;
	}
	for(int i=1;i<=n+1;++i) c[i]=a[i]^a[i-1] ;
	for(int i=1;i<=m;++i) read(len[i]) ;
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis)) ;
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp)) ;
	
	for(int i=1;i<=n+1;++i)
		if(c[i]) sta[++top]=i,bfs(i,dis[top]) ;
	dp[0]=0 ;
	for(int i=0,t=(1<<top)-1;i<t;++i)
	{
		int fir=-1 ;
		for(int j=0;j<top;++j) if(!((i>>j)&1)) {fir=j ;break ;		}
		for(int j=fir+1;j<top;++j)
		{
			if(!((i>>j)&1))
			{
				int now=(i|(1<<fir))|(1<<j) ;
				dp[now]=min(dp[now],dp[i]+getdis(fir+1,j+1)) ;
			}
		}
	}
	printf("%d",dp[(1<<top)-1]) ;
	return 0 ;
}