数字图像处理成长之路6：滤波(中值 平均值 高斯 双边)

滤波

• 1.中值滤波
• 2.平均值滤波
• 3.高斯滤波
• 4双边滤波

1.中值滤波

这是一种简单的滤波方法，顾名思义，中值就是在参与计算的点中，通过排序，找到中间值。

比如上面的3x3图象矩阵，绿色的点是原图象上的点，灰度值是55。对该点进行中值滤波，的过程是：
1）对该9个点排序为：45 48 50 50 52 52 52 55 56，中间值是52。
2）用52替换原来的值55。
中值滤波的结果是：

2.平均值滤波

也是一种简单的滤波，图象上的点进行平均值滤波的过程是：
1）取这9个点的平均值：（50 + 45 + 50 +52 + 55 +48 + 56 + 52 + 52）/ 9 = 51
2）用51替换原图象的确55。
平均值滤波的结果是：

3.高斯滤波

斯滤波也不复杂，和平均值滤波差不多。平均值滤波是9个点相加然后取平均，高斯滤波也是对这边9个点取平均，不同的是，以中心点为中心，赋予这9个点不同的权重，越靠近中心点权重越大，所以是一种加权平均。那么如何这9个点进行权值的分配呢？我们需要借助一个数学模型——高斯函数。
二维高斯函数的图像如下：

函数表达式是：

公式看起来有些复杂，简单说说里面参数的含义：
是x和y的标准方差，我们令它们等于1。
是x和y的期望，我们令它们等于0。
是x和y的相关系数，我们令它等于0。
则上式可简化为：

这是二维空间的标准正态分布。

把x，y的值带入上图便可计算出各点权重：

根据概率论的知识，高斯函数在全空间的积分等于1，我们这里有9个点，显然它们之和小于一，我们把它进行归一化：

所以高斯滤波的过程是：
1）根据高斯函数，提前计算出各项权重，并归一化。
2）计算加权平均值，为了书写方便我们写成矩阵形式

3）最后加权平均值是约是50。

4.双边滤波

再来看高斯滤波，权值的分配是离中心点越近则越大，这是和距离有关。在我们的示例图中，中心点周围的8个点距离中心点大致相同。也就是说权值一旦给定了参数计算出来后就确定不变，而随着滤波窗口在图像上滑动，滤波窗口中的9个点成为唯一变量。中心点周围的8个点的值，有的十分接近中心点，有的则和中心点相差很大。在权重相近的情况下，大差值会过度拉低或拉高中心点的值。而滤波的结果应该是渐进的而不是突变的。因为权重总和是1，我们希望在高斯权重的基础上对权重进行适当修饰，即如果某点值和中心点值接近，我们就给该点多分配些权值，如果某点值和中心点值相差较大，我们就给该点少分配些权值，以降低该点对中心点的影响。这便是对高斯滤波的改进。
那么具体该如何对权重修饰呢？
从上面的分析我们知道，新的权重可以通过一个系数K乘以原来的高斯权重得到，而K与|某点灰度值 - 中心点灰度值| 成反比。我们需要找到这样一个函数y = f(x)，它满足几个特性：
1）在第一象限中，输入与输出成反比。
2）在第一象限的y值为正(或者至少在x <256的范围内为正)。
符合这样特性的函数有很多，指数函数，幂函数，一条直线，等等很多。让我们来看看指数函数，因为我们的高斯函数是指数函数，而指数函数的相乘等于指数的相加，因此从计算便利及形式统一上讲，选择一个指数函数还是很适合的。
令k为：

其中i,j代表中心点，g(x,y)代表某点的灰度值。
所以新的权重值公式为：

这个是简化后的公式，实际上我们还可以引入方差，来调整效果。

双边滤波只是在高斯滤波的基础上乘了一个系数，集体计算方法与高斯滤波相差无几。