【Java数据结构】二叉树基础

二叉树参考链接：https://www.jianshu.com/p/bf73c8d50dc2
二叉查找树参考链接：https://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3576452.html

1.预备知识

对于大量的输入数据，链表的线性访问时间太慢，不宜使用。树(tree)是一种简单的数据结构，其大部分操作的运行时间平均为Ο(log N)。
树可以用几种方式定义。定义树的一种自然的方式是递归的方式。一棵树是一些节点的集合。这个集合可以是空集；若不是空集，则树由称作根(root)节点的r以及0个或多个非空子树T₁，T₂，…，T_k组成，这些子树中每一棵的根都被来自根r的一条有向的边（edge）所连结。
每一棵子树的根叫做根r的儿子（child）节点，而r是每一棵子树的根的父亲（parent）节点。

（1）节点的度
节点拥有的子节点数目称为节点的度：

图2 一棵普通树
（2）节点层次
从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推，如下图所示：

（3）节点关系
没有儿子的节点称为树叶（leaf），具有相同父亲的节点称为兄弟（siblings）；用类似的方法可以定义祖父（grandparant）和孙子（grandchild）。
从节点n₁到n_k的路径（path）定义为节点n₁，n₂，…，n_k的一个序列，使得对于1<=ii是节点n_i+1的父亲。这条路径的长（length）是为该路径上的边的条数，即k-1。从每一个节点到它自己有一条长为0的路径。注意，在一棵树中从根到每个节点恰好存在一条路径。
对任意节点n_i，n_i的深度（depth）为从根到n_i的唯一的路径的长，因此根的深度为0。n_i的高（height）是从n_i到一片树叶的最长路径的长。因此所有的树叶的高都是0。一棵树的高等于它的根的高，一棵树的深度等于它的最深的树叶的深度，该深度问题等于这棵树的高。
（4）树的实现
实现树的一种方法可以是在每个节点除数据外还要有一些链，使得该节点的每一个儿子都有一个链指向它。然而，由于每个节点的儿子数是可以变化很大并且事先不知道，因此在数据结构中建立到各子节点直接的链接是不可行的，因为这样会产生太多浪费的空间。
实际上解决方法很简单：将每个节点的所有儿子都放在树节点的链表中。

class TreeNode
{
     
	Object element;
	TreeNode firstChild;
	TreeNode nextSibling;
}

2.二叉树

二叉树是一棵树，其中每个节点都不能有多于两个儿子。如下为一棵普通的二叉树：

（1）二叉树特点
由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点：
1）每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

（2） 二叉树性质
1）在二叉树的第i层上最多有2i-1 个节点 。（i>=1）
2）二叉树中如果深度为k,那么最多有2k-1个节点。(k>=1）
3）n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数，n2表示度数为2的节点数。
4）在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。
5）若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性：

(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
(2) 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

（3） 二叉树遍历
二叉树的遍历是指从二叉树的根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次，且仅被访问一次。
二叉树的访问次序可以分为四种：

前序遍历
中序遍历
后序遍历

（a） 前序遍历
前序遍历通俗的说就是从二叉树的根结点出发，当第一次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。总结为：中节点->左节点->右节点

上图所示二叉树的前序遍历输出为：
ABDHIEJCFG

（b） 中序遍历
中序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第二次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。总结为：左节点->中节点->右节点
上图所示二叉树的中序遍历输出为：
HDIBJEAFCG

（c）后序遍历
后序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第三次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。左节点->右节点->中节点
上图所示二叉树的后序遍历输出为：
HIDJEBFGCA
虽然二叉树的遍历过程看似繁琐，但是由于二叉树是一种递归定义的结构，故采用递归方式遍历二叉树的代码十分简单。
递归实现代码如下：

/*二叉树的前序遍历递归算法*/
void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
     
    if(T==NULL)
    return;
    printf("%c", T->data);  /*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/
    PreOrderTraverse(T->lchild);    /*再先序遍历左子树*/
    PreOrderTraverse(T->rchild);    /*最后先序遍历右子树*/
}


/*二叉树的中序遍历递归算法*/
void InOrderTraverse(BiTree T)
{
     
    if(T==NULL)
    return;
    InOrderTraverse(T->lchild); /*中序遍历左子树*/
    printf("%c", T->data);  /*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/
    InOrderTraverse(T->rchild); /*最后中序遍历右子树*/
}


/*二叉树的后序遍历递归算法*/
void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
     
    if(T==NULL)
    return;
    PostOrderTraverse(T->lchild);   /*先后序遍历左子树*/
    PostOrderTraverse(T->rchild);   /*再后续遍历右子树*/
    printf("%c", T->data);  /*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/
}

3.二叉查找树

二叉树的一个重要应用是它们在查找中的使用。使二叉树成为二叉查找树的性质是：对于树中的每个节点X，它的左子树中所有项的值小于X中的项，而它的右子树中所有项的值大于X中的项。因为二叉查找树的平均深度为Ο(log N)，所以一般不必担心栈空间被用尽。

在二叉查找树中：

(01) 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
(02) 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
(03) 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
(04) 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。