小强学Python+OpenCV之－1.4.1平移、旋转、缩放、翻转－之理论

小强学Python+OpenCV之－1.4.1平移、旋转、缩放、翻转－之理论

下面我们将进入实际的图像处理阶段。
本阶段，我们将分别学习图像的平移、旋转、缩放、翻转、裁剪、算术运算、位运算、掩膜(mask)、通道分离及合并等技术。

目标

本节我们学习下面几个简单的操作：
1. 平移(translation)
2. 旋转(rotation)
3. 缩放(resizing)
4. 翻转(flipping)

变换矩阵

图像的各种操作都可以反应为矩阵的算术运算。比如：

1.平移

图像的平移操作是指：图像沿X方向或Y方向（或两者同时）进行的整体移动。平移变换对应矩阵运算中的加法。

目标位置：

x′=x+tx

y′=y+ty

(tx, ty)叫作转换矩阵或平移矩阵。上面的公式也可用表示如下:

(xy)+(txty)=(x+txy+ty)

2.旋转

图像的旋转对应矩阵的乘法，如下：
(x, y)绕原点逆时针旋转θ度角到(x’, y’)的变换公式是：

x′=xcosθ−ysinθ

y′=xsinθ+ycosθ

用矩阵表示为：

(x′y′)=(cosθsinθ−sinθcosθ)∗(xy)

3.缩放

图像的缩放对应的也是矩阵乘法，如下：

x′=sx∗x

y′=sy∗y

用矩阵表示为：

(x′y′)=(sx00sy)∗(xy)

4.翻转

翻转对应的也是同样是矩阵简洁，中是有点特殊：
沿X轴翻转：

x′=−x

y′=y

用矩阵表示为：

(x′y′)=(−1001)∗(xy)

沿Y轴反转：

x′=x

y′=−y

用矩阵表示为：

(x′y′)=(100−1)∗(xy)

仿射变换

也许你看出了问题，那就是：除了平移，其它变换都可以用矩阵乘法来表示。那么能不能让平移变换也转换成矩阵的乘法运算呢？这样就可以统一了。答案是，可以的。那就是用仿射变换。
即用三维向量（x, y, 1）表示二维向量。
那么，上面的平移，旋转，绽放，翻转就可以转变如下。

1. 平移

设某点向x方向移动 tx, y方向移动 ty, (x, y)为变换前坐标，(X, Y)为变换后坐标。 则：

X=x+tx

Y=y+ty

以矩阵表示：

⎛⎝⎜XY1⎞⎠⎟=⎛⎝⎜xy1⎞⎠⎟∗⎛⎝⎜100010txty1⎞⎠⎟=⎛⎝⎜x+txy+ty1⎞⎠⎟

2. 旋转

设某点 (x, y) 以原点为圆心，以该点与原点连线为半径， 逆时针旋转θ度。新的位置(X, Y)

X=x∗cosθ−y∗sinθ

Y=x∗sinθ+y∗cosθ

以矩阵表示：

⎛⎝⎜XY1⎞⎠⎟=⎛⎝⎜xy1⎞⎠⎟∗⎛⎝⎜cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎞⎠⎟=⎛⎝⎜x∗cosθ−y∗sinθx∗sinθ+y∗cosθ1⎞⎠⎟

3. 缩放

设某点坐标(x, y)，在x轴方向扩大 sx倍，y轴方向扩大 sy倍，变换后坐标为(X, Y)。

X=sx∗x

Y=sy∗y

以矩阵表示：

⎛⎝⎜XY1⎞⎠⎟=⎛⎝⎜xy1⎞⎠⎟∗⎛⎝⎜sx000sy0001⎞⎠⎟=⎛⎝⎜sx∗xsy∗y1⎞⎠⎟

4. 翻转

设某点坐标(x, y)
沿x轴翻转，转换后的坐标(X, Y)。

X=−x

Y=y

以矩阵表示：

⎛⎝⎜XY1⎞⎠⎟=⎛⎝⎜xy1⎞⎠⎟∗⎛⎝⎜−100010001⎞⎠⎟=⎛⎝⎜−xy1⎞⎠⎟

沿y轴翻转，转换后的坐标(X, Y)。

X=x

Y=−y

以矩阵表示：

⎛⎝⎜XY1⎞⎠⎟=⎛⎝⎜xy1⎞⎠⎟∗⎛⎝⎜1000−10001⎞⎠⎟=⎛⎝⎜x−y1⎞⎠⎟

参考：

1. 变换矩阵
2. 仿射变换