数论的一些定理
威尔逊定理:
当且仅当p为素数时：( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) （o(╯□╰)o我开始竟然看成!=了）
证明：
充分性：
因为(p-1)! = -1 (mod p)，所以(p-1)! 与p互质，如果p不是质数，则p的因子肯定在2,3,...p-1之中,这与条件矛盾,所以p必是质数
必要性：
若p是素数,取集合 A={1,2,3,...p -1}; 则A 构成模p乘法的缩系,而缩系恰好是可交换群所以每个元素都存在逆元且唯一，
即任意i∈A ,存在j∈A,使得:
( i j ) ≡ 1 ( mod p )
那么A中的元素是不是恰好两两配对呢? 不一定,但只需考虑这种情况
x^2 ≡ 1 ( mod p )
解得: x ≡ 1 ( mod p ) 或 x ≡ p - 1 ( mod p )
其余两两配对;故而
( p - 1 )! ≡ 1﹡( p -1 ) ≡ -1 ( mod p )
欧拉定理 对于互质的正整数a, n 有 a^ φ(n) = 1 (mod n)
证明:
首先证明下面这个命题：
对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系（或称简系、缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n
),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 。
则S = Zn
1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定与n互质，因此
任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素 。
2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj
则a*xi(mod n) ≠ a*xj(mod n)，这个由a、n互质和消去律可以得出。（群的性质）
所以，很明显，S=Zn
既然这样，那么
（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)
= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)
= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)
考虑上面等式左边和右边
左边等于([a^φ(n)] *（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)
右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)
而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质
根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：（群的性质）
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n）
费马定理:
a是不能被 质数p 整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。推论：对于任意正整数a，有a^p ≡ a (mod p)，因为a能被p整除时结论显然成
立。
Lucas定理
For non-negative integers m and n and a prime p, the followingcongruence relation holds:
where
and
are the base p expansions of m and n respectively.
证明:
首先我们注意到 n= [n/p]*p+a0,m=[m/p]+b0
只要我们更够证明 C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0) (mod p)
剩下的工作由归纳法即可完成
我们知道对任意质数p: (1+x)^p == 1+(x^p) (mod p)
此处可以根据二项式定理展开，在模p情况下， (1+x)^p = ∑C(p, i)*x^i = 1+x^p
所以，对模p 而言
上式左右两边的x^m的系数对模p而言一定同余,其中左边的x^m的系数是 C(n,m) 而由于a0和b0都小于p
右边的x^m = x^(([m/p]*p)+b0)) 一定是由 x^([m/p]*p) 和 x^b0 相乘而得 (即发生于 i=[m/p] , j=b0 时) 因此我们就有了
C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0) (mod p)