Codeforces Round #341 (Div. 2) E. Wet Shark and Blocks（dp + 矩阵快速幂）

题意:

给定b≤109块数字,每块有n≤105个数字,现在从每块选一个拼出一个大数
求这个大数MOD x=k的方法数,x,k≤100

分析:

一种理解：
dp[i][j]:=由模x得i,经(∗10+k),模x得j的方法数
显然这个要做b次,显然ans=dpb[0][k]
预处理出dp1[i][j]这个矩阵,转移我们发现是矩阵的自乘,比如dp2[i][k]=∑9j=0dp1[i][j]∗dp1[j][k],矩阵快速幂加速一下就好了
另一种理解：
f[i][mod]:=i个数字,模x得j的方法数
发现转移就是上面这个dp1[i][j]矩阵,ans=f[b][k]=f[0][0]∗dpb[0][k],同理矩阵快速幂加速一下
以上这两种由于矩阵快速幂,复杂度都是O(x3logb)
其实对于第二种理解,还可以用分治来加速一下b次转移,复杂度是O(x2logb)

给出第一种代码:

//
//  Created by TaoSama on 2016-01-31
//  Copyright (c) 2015 TaoSama. All rights reserved.
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#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include 
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#include 

using namespace std;
#define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
const int N = 100 + 10, INF = 0x3f3f3f3f, MOD = 1e9 + 7;

typedef long long LL;

struct Matrix {
    int row, col;
    LL mat[N][N];
    void init(int row, int col, bool one = false) {
        this->row = row; this->col = col;
        memset(mat, 0, sizeof mat);
        if(!one) return;
        for(int i = 0; i < row; ++i) mat[i][i] = 1;
    }
    Matrix operator* (const Matrix& rhs) {
        Matrix ret; ret.init(row, rhs.col);
        for(int k = 0; k < col; ++k) {
            for(int i = 0; i < row; ++i) {
                if(mat[i][k] == 0) continue;
                for(int j = 0; j < rhs.col; ++j) {
                    if(rhs.mat[k][j] == 0) continue;
                    ret.mat[i][j] += mat[i][k] * rhs.mat[k][j] % MOD;
                    ret.mat[i][j] %= MOD;
                }
            }
        }
        return ret;
    }
    Matrix operator^ (LL n) {
        Matrix ret, x = *this;
        ret.init(row, col, 1);
        while(n) {
            if(n & 1) ret = ret * x;
            x = x * x;
            n >>= 1;
        }
        return ret;
    }
} A;

int n, b, k, x;
int cnt[10];

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("C:\\Users\\TaoSama\\Desktop\\in.txt", "r", stdin);
//  freopen("C:\\Users\\TaoSama\\Desktop\\out.txt","w",stdout);
#endif
    ios_base::sync_with_stdio(0);

    while(scanf("%d%d%d%d", &n, &b, &k, &x) == 4) {
        memset(cnt, 0, sizeof cnt);
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            int z; scanf("%d", &z);
            ++cnt[z];
        }
        printf("%d\n", sizeof(long double));
        A.init(x, x);
        for(int i = 0; i < x; ++i)
            for(int j = 0; j < 10; ++j)
                A.mat[i][(i * 10 + j) % x] += cnt[j];

        Matrix ans = A ^ b;
        printf("%I64d\n", ans.mat[0][k]);
    }
    return 0;
}