ACWing 1307. 牡牛和牝牛 （组合数、DP、前缀和）

1307. 牡牛和牝牛

思路一

• $f[i]$表示有$i$个奶牛且最后一个牛必须为公牛的方案数。
• $f[i]={\sum }_0^{i-k-1}f[i]$ $(s[i-k,i-1])$只能放母牛。
• 最终答案：${\sum }_0^{n}f[i]$，分类做事情，加法原理。

#include 
using namespace std;

const int mod = 5000011,size = 1e5+10;
int n,k,f[size] = {
     1},s[size] = {
     1};

int main(){
     
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++){
     
        f[i] = i-k-1>=0?s[i-k-1]:f[0];
        s[i] = (s[i-1]+f[i])%mod;
    }
    printf("%d\n",s[n]);
    return 0;
}

思路二

• 直接用$f[i]$表示有$i$头牛的方案数
  • 如果第$i$头牛是母牛，那么前$i-1$头按照题目要求随便放置即可。
  • 如果第$i$头牛是公牛，$s[i-k]$~$s[i-1]$都不可以是公牛，只能都是母牛。
    所以此时$i-k-1$头牛按照题目要求任意放置。
    $f[i]=f[i-1]+f[i-k-1]$
• 答案就是$f[n]$

#include 
using namespace std;

const int mod = 5000011,size = 1e5+10;
int n,k,f[size] = {
     1};

int main(){
     
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++){
     
        f[i] = f[i-1];
        if(i-k-1>=0) f[i] = (f[i]+f[i-k-1])%mod;
        else f[i] = (f[i]+1)%mod;
    }
    printf("%d\n",f[n]);
    return 0;
}