数据库(笔记)——函数依赖

函数依赖的定义

1. 定义
   函数依赖是关系模式中，属性之间的逻辑依赖关系
   定义如下：
   设关系R(U,F)，U是属性集，F是函数依赖集，令X、Y是U的两个子集
   对于任意R的一个关系r，X的每一个具体值，Y都有唯一值与之对应
   则，X决定函数Y，或Y函数依赖于X，记作X→Y（X是自变量，Y是因变量，一个X只能得到一个Y）

若X→Y且Y→X，则X↔Y
不依赖则是在箭头上画上斜线
简单说，若X→Y，那么在关系r上任意两个元组，若ti[X] = tj[X],那么ti[Y] = tj[Y]，在这里就要联想到函数的单映射和双映射了

函数依赖可以理解为属性之间的一种约束条件，它能够用于判断建立的关系表是否合理

2. 平凡函数依赖
   若属性集Y是X的子集，则必然存在函数依赖X→Y，这种函数依赖就是平凡的函数依赖，其他类型的函数依赖就是非平凡的函数依赖

这里是对属性集是否包含而言的，不是指属性的域的包含关系

3. 函数依赖于属性之间联系的关系
   当X与Y有1:1联系时，一定有X↔Y
   当X与Y有m:1联系时，有X→Y
   当X与Y有m:n联系时，X、Y之间不存函数依赖

函数依赖的逻辑蕴涵

逻辑蕴涵

设F是关系模式R的函数依赖集，X、Y是属性集U的子集，X→Y是一个函数依赖，若在F中，能够用其他函数依赖关系推导出X→Y，则X→Y为F的逻辑蕴涵，或F逻辑蕴涵X→Y，记作F|=X→Y

闭包

F是R的函数依赖集，被F逻辑蕴涵的函数依赖的集合称为F的闭包
记作F⁺
F⁺={X→Y | F|=X→Y}

除了函数依赖集的闭包外，属性集也存在闭包运算，如下
属性集X的闭包X⁺ = {属性A | X→A在F⁺中}

函数依赖的推导规则

定律名称	条件	结果
自反律	Y⊆X⊆U	X→Y
增广律	X→Y，Z⊆U	XZ→YZ
传递律	Y→Y，Y→Z	X→Z
合并律	X→Y，X→Z	X→YZ
伪传递律	X→Y，YW→Z	XW→Z
分解律	X→Y，Z⊆Y	X→Z
复合律	X→Y，W→Z	XW→YZ

以上的XY这样的形式，不是离散中的集合求交集，而是将他们合并
此外如：Y⊆X，是Y中的属性是X中属性的子集，如Y(姓名，性别)，X(姓名、性别、年龄)，那么Y就⊆X

完全函数依赖与部分函数依赖

完全函数依赖

若X→Y，且对于X的任意真子集X^’，都不满足X^’→Y，则Y对X完全函数依赖，记作

部分函数依赖

若X→Y，且对于X的任意真子集X^’，存在X^’→Y，则Y对X部分函数依赖，记作

元组中其它属性对主键或其候选键都是完全函数依赖的
上述的X的子集，是指X属性集中的部分属性，而不是属性域的子集

传递函数依赖

X→Y，且Y→X不成立，而有Y→Z（其中Y不属于X，Z不属于Y），则有Z对X传递函数依赖，记作

为什么不能有Y→X，是因为，如果这个条件成立，X→Z就不是传递得来的，而是直接能得到的
属于关系不存在的限制也是一样，是为了排除平凡函数依赖

候选键在函数依赖中的定义

1. 定义
   U是关系R的属性集，若属性集X→U在R上成立，X是R的一个超键
   在X是超键的基础上，若X的任一真子集X’ 都有
   X’ →U不成立，那么X是R上的一个候选键

由此可知，其他所有属性对于候选键都是完全函数依赖的

2. 如何在函数依赖中寻找候选键
   对属性进行分类

• L类：只出现在→左边的属性，必为候选键之一，若X⁺包含了R的所有属性，则X是唯一的候选键
• R类：只出现在→右边的属性，则它是非主属性
• N类：在→两边都没出现过的属性，它是主属性
• LR类：在→左右两边都出现过的属性，且X⁺包含了R的所有属性，则X是唯一的候选键

总结

函数依赖的主要作用是，在建立号关
系数据 表之后，可以通过它来对数据表进行检查，看是否符合规则
完全函数依赖域部分函数依赖的区别在于X的子集能否满足X^’→Y
在求解函数依赖的闭包时，一定要全面，不能忘记F本身