组合数学 - 对角线 - 洛谷 P2181

组合数学 - 对角线 - 洛谷 P2181

题目描述

对于一个 n 个顶点的凸多边形，它的任何三条对角线都不会交于一点。请求出图形中对角线交点的个数。

6 边形：

输入格式

输入只有一行一个整数 n，代表边数。

输出格式

输出一行一个整数代表答案。

输入输出样例

输入1：

3

输出1：

0

输入2：

6

输出2：

15

数据范围：

$3\le n\le 10^5$

---

分析：

$由题意，保证了任意三条对角线都不会交于同一点，$

$也就是说，每个交点都仅有两条对角线唯一确定。$

$那么每个交点就对应两条对角线，即四个顶点。$

$问题等价于我们从n个点中选择4个点，问一共有多少种的方案。$

$答案：C_n^4=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}$

$n在10^5数量级，4!=24，答案不会超过10^{19}，可以用无符号长整型存储。$

$为了防止溢出，我们做乘法时要同时做除法。$

$因为n\times (n-1)必有因子2，故我们在计算n\times (n-1)后立即除2(这里只除去了因子2，不会影响因子3)$

$同理，n\times (n-1)\times (n-2)必有因子3，故我们在累乘上n-3后立即除3，$

$同理，最后除4.$

代码：

#include

#define ull unsigned long long

using namespace std;

int main()
{
     
    ull n;
    cin>>n;
    cout<<(ull)n*(n-1)/2*(n-2)/3*(n-3)/4<<endl;
    return 0;
}