模线性方程组

模线性方程组

Description

小Ho：今天我听到一个挺有意思的故事！

小Hi：什么故事啊？

小Ho：说秦末，刘邦的将军韩信带领1500名士兵经历了一场战斗，战死四百余人。韩信为了清点人数让士兵站成三人一排，多出来两人；站成五人一排，多出来四人；站成七人一排，多出来六人。韩信立刻就知道了剩余人数为1049人。

小Hi：韩信点兵嘛，这个故事很有名的。

小Ho：我觉得这里面一定有什么巧妙的计算方法！不然韩信不可能这么快计算出来。

小Hi：那我们不妨将这个故事的数学模型提取出来看看？

小Ho：好！

<小Ho稍微思考了一下>

小Ho：韩信是为了计算的是士兵的人数，那么我们设这个人数为x。三人成排，五人成排，七人成排，即x mod 3, x mod 5, x mod 7。也就是说我们可以列出一组方程：

x mod 3 = 2
x mod 5 = 4
x mod 7 = 6

韩信就是根据这个方程组，解出了x的值。

小Hi：嗯，就是这样！我们将这个方程组推广到一般形式：给定了n组除数m[i]和余数r[i]，通过这n组(m[i],r[i])求解一个x，使得x mod m[i] = r[i]。

小Ho：我怎么感觉这个方程组有固定的解法？

小Hi：这个方程组被称为模线性方程组。它确实有固定的解决方法。不过在我告诉你解法之前，你不如先自己想想怎么求解如何？

小Ho：好啊，让我先试试啊！

Input

第1行：1个正整数, N，2≤N≤1,000。

第2..N+1行：2个正整数, 第i+1行表示第i组m,r，2≤m≤20,000,000，0≤r

计算过程中尽量使用64位整型。

Output

第1行：1个整数，表示满足要求的最小X，若无解输出-1。答案范围在64位整型内。

分析：

小Hi：一开始就直接求解多个方程不是太容易，我们从n=2开始递推：

已知：

x mod m[1] = r[1]
x mod m[2] = r[2]

根据这两个式子，我们存在两个整数k[1],k[2]：

x = m[1] * k[1] + r[1]
x = m[2] * k[2] + r[2]

由于两个值相等，因此我们有：

	m[1] * k[1] + r[1] = m[2] * k[2] + r[2]
=>	m[1] * k[1] - m[2] * k[2] = r[2] - r[1]

由于m[1],m[2],r[1],r[2]都是常数，若令A=m[1],B=m[2],C=r[2]-r[1],x=k[1],y=k[2]，则上式变为：Ax + By = C。

是不是觉得特别眼熟。

小Ho：这不是扩展欧几里德么！

小Hi：没错，这就是我们之前讲过的扩展欧几里德。

我们可以先通过gcd(m[1], m[2])能否整除r[2]-r[1]来判定是否存在解。

假设存在解，则我们通过扩展欧几里德求解出k[1],k[2]。

再把k[1]代入x = m[1] * k[1] + r[1]，就可以求解出x。

同时我们将这个x作为特解，可以扩展出一个解系：

X = x + k*lcm(m[1], m[2]) k为整数

lcm(a,b)表示a和b的最小公倍数。其求解公式为lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)。

将其改变形式为：

X mod lcm(m[1], m[2]) = x。

令M = lcm(m[1], m[2]), R = x，则有新的模方程X mod M = R。

此时，可以发现我们将x mod m[1] = r[1]，x mod m[2] = r[2]合并为了一个式子X mod lcm(m[1], m[2]) = x。满足后者的X一定满足前两个式子。

小Ho：每两个式子都可以通过该方法化简为一个式子。那么我们只要重复进行这个操作，就可以将n个方程组化简为一个方程，并且求出一个最后的解了。

小Hi：没错，就是这样。将其写做伪代码为：

M = m[1], R = r[1]
For i = 2 .. N 
	d = gcd(M, m[i])
	c = r[i] - R
	If (c mod d) Then	// 无解的情况
		Return -1
	End If
	(k1, k2) = extend_gcd(M / d, m[i] / d)	// 扩展欧几里德计算k1,k2
	k1 = (c / d * k1) mod (m[i] / d)	// 扩展解系
	R = R + k1 * M		// 计算x = m[1] * k[1] + r[1]
	M = M / d * m[i] 	// 求解lcm(M, m[i])
	R %= M 			// 求解合并后的新R，同时让R最小
End For		
If (R < 0) Then 
	R = R + M
End If
Return R

 

代码：

#include

long long gcd(long long A,long long B)
{
	while(A=A%B)
	{
		long long C;
		C=A;
		A=B;
		B=C;
	}
	return B;
}

void extend_gcd(long long A,long long B,long long &x,long long &y)
{
	if(A%B == 0){
		x=0;
		y=1;
		return;
	}
	long long tempX,tempY;
	extend_gcd(B, A%B,tempX,tempY);
	x = tempY;
	y = tempX - (A / B) * tempY;
	return;
}

long long cal(long long m[1010],long long r[1010],int n)
{
	long long M = m[1], R = r[1];
	int i;
	long long d;
	long long c;
	for( i = 2;i<=n;i++) 
	{
		d = gcd(M, m[i]);
		c = r[i] - R;
		if (c % d)	// 无解的情况
			return -1;
		long long k1,k2;
		extend_gcd(M / d, m[i] / d,k1,k2);	// 扩展欧几里德计算k1,k2
		k1 = (c / d * k1)%(m[i] / d);	// 扩展解系
		R = R + k1 * M;		// 计算x = m[1] * k[1] + r[1]
		M = M / d * m[i]; 	// 求解lcm(M, m[i])
		R %= M; 			// 求解合并后的新R，同时让R最小
	}
	if (R < 0)
		R = R + M;
	return R;
}

int main()
{
	int n,i;
	long long m[1010],r[1010];
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld%lld",&m[i],&r[i]);
	}
	printf("%lld\n",cal(m,r,n));
	return 0;
}