三阶贝塞尔曲线拟合1/4圆

贝塞尔曲线(Bézier curve)，又称 贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由 线段与 节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线，在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔 曲线工具，如PhotoShop等。在Flash4中还没有完整的曲线工具，而在Flash5里面已经提供出贝塞尔曲线工具。

贝塞尔曲线于1962，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau演算法开发，以稳定数值的方法求出贝兹曲线。(感谢百度百科)

三阶贝塞尔曲线拟合1/4圆

根据贝塞尔曲线的知识，我们知道三阶贝塞尔曲线的参数方程如下，其中A、B、C、D为四个控制点坐标，P(t)表示曲线上的每一点。

因为要模拟1/4圆，所以通过P(0)和P(1)的切线方向，应该按照下图所示位置安放。

其中AB为水平方向，DC为垂直方向，并且线段长度|AB| = |DC| = h。

那么这个问题实际上，就转换为计算出合理的h值，使得半径|OJ| = 1，也即J点刚好在圆弧上。

根据贝塞尔曲线的对称性，不难想出J点在P(0.5)处，代入公式即可求得：

同样的结论，也可以直接由贝塞尔曲线的几何图形特征来推定，也即：

所以也可以再次确认P(0.5)和J是同一点。

代入四个控制点坐标A(0, 1)，B(h, 1)，C(1, h)和D(1, 0)，可以求解P(0.5)点坐标如下：

根据圆形方程定义，可以拟出下面方程：

从而求解出h的值为：

所以，可以最终求解出三阶贝塞尔曲线模拟1/4圆的参数方程P(t)定义如下：

另一方面，该方程描述的曲线与真实1/4圆有多大差异呢？下面就针对这个问题进行数值求解。

采用t = 0.0到1.0，步进值0.01，求解每个点到原点的距离与半径1的差异。

 #include
 #include
 #include
 #include

 double bezier3(double a, double b, double c, double d, double t)
 {
     double nt = 1.0 - t;
     double nt2 = nt * nt;
     double nt3 = nt * nt * nt;
     double t2 = t * t;
     double t3 = t * t * t;

     return (a * nt3 + b * 3.0 * nt2 * t + c * 3.0 * nt * t2 + d * t3);
 }

 int main()
 {
         double t, a;
         double d, e;
         double max_e = 0.0, min_e = 1.0;

         double x, y;
         double h = (sqrt(2) - 1.0) * 4.0 / 3.0;
         for(t = 0.0; t < 1.01; t+=0.01)
         {
                 x = bezier3(0, h, 1, 1, t);
                 y = bezier3(1, 1, h, 0, t);
                 d = sqrt(x * x + y * y);
                 e = d - 1.0;

                 a = atan2(y, x);
                 a = a * 180.0 / 3.1415926;

                 if(max_e < e) max_e = e;
                 if(min_e > e) min_e = e;
                 printf("%4.1f, %f\n", a, e);
         }
         printf("max_e = %f, min_e = %f\n", max_e, min_e);
     return 0;
 }

输出结果如下：

 90.0, 0.000000
 89.1, 0.000003
 88.1, 0.000010
 87.2, 0.000022
 86.2, 0.000037
 85.3, 0.000054
 84.4, 0.000073
 83.4, 0.000092
 82.5, 0.000113
 81.6, 0.000133
 80.7, 0.000153
 79.7, 0.000172
 78.8, 0.000190
 77.9, 0.000206
 77.0, 0.000221
 76.1, 0.000234
 75.2, 0.000246
 74.3, 0.000255
 73.4, 0.000263
 72.5, 0.000268
 71.6, 0.000271
 70.7, 0.000273
 69.8, 0.000272
 68.9, 0.000269
 68.0, 0.000265
 67.1, 0.000259
 66.2, 0.000251
 65.3, 0.000242
 64.4, 0.000232
 63.5, 0.000220
 62.6, 0.000208
 61.8, 0.000194
 60.9, 0.000181
 60.0, 0.000166
 59.1, 0.000152
 58.2, 0.000137
 57.3, 0.000123
 56.5, 0.000108
 55.6, 0.000094
 54.7, 0.000081
 53.8, 0.000068
 52.9, 0.000056
 52.0, 0.000045
 51.2, 0.000035
 50.3, 0.000026
 49.4, 0.000018
 48.5, 0.000012
 47.6, 0.000007
 46.8, 0.000003
 45.9, 0.000001
 45.0, 0.000000
 44.1, 0.000001
 43.2, 0.000003
 42.4, 0.000007
 41.5, 0.000012
 40.6, 0.000018
 39.7, 0.000026
 38.8, 0.000035
 38.0, 0.000045
 37.1, 0.000056
 36.2, 0.000068
 35.3, 0.000081
 34.4, 0.000094
 33.5, 0.000108
 32.7, 0.000123
 31.8, 0.000137
 30.9, 0.000152
 30.0, 0.000166
 29.1, 0.000181
 28.2, 0.000194
 27.4, 0.000208
 26.5, 0.000220
 25.6, 0.000232
 24.7, 0.000242
 23.8, 0.000251
 22.9, 0.000259
 22.0, 0.000265
 21.1, 0.000269
 20.2, 0.000272
 19.3, 0.000273
 18.4, 0.000271
 17.5, 0.000268
 16.6, 0.000263
 15.7, 0.000255
 14.8, 0.000246
 13.9, 0.000234
 13.0, 0.000221
 12.1, 0.000206
 11.2, 0.000190
 10.3, 0.000172
  9.3, 0.000153
  8.4, 0.000133
  7.5, 0.000113
  6.6, 0.000092
  5.6, 0.000073
  4.7, 0.000054
  3.8, 0.000037
  2.8, 0.000022
  1.9, 0.000010
  0.9, 0.000003
 -0.0, 0.000000
 max_e = 0.000273, min_e = 0.000000

从输出结果分析可以看到，误差均为向着圆弧外凸，0度到45度一段，45度到90度一段。

在0度、45度和90度为最小误差0.000000，在19.3度和70.7度达到最大误差为0.000273，基本上非常接近1/4圆弧了。

以上，即为三阶贝塞尔曲线模拟1/4圆弧的全部内容。

感谢Grapher和GeoGebra软件，使得方便排版文章中使用的公式和曲线。

     （感谢原创作者）