核电站问题 动态规划

核电站问题

一个核电站有N个放核物质的坑，坑排列在一条直线上。如果连续M个坑中放入核物质，则会发生爆炸，

于是，在某些坑中可能不放核物质。

任务：对于给定的N和M，求不发生爆炸的放置核物质的方案总数。

输入描述 Input Description

输入文件只一行，两个正整数N，M( 2<=N<50，2≤M≤5)

输出描述 Output Description

输出文件只有一个正整数S，表示方案总数。

样例输入 Sample Input
4 3

样例输出 Sample Output
13

题解：
方法一：
从第一个坑开始放，开始dfs，每个坑都有两种可能，放或者不放，dfs（i,j）i第i个坑，j前i个坑最后j个坑都填了物质，若j达到m,则次方案不行，若没有m,继续

#include

int n,m,ans=0;

int dfs(int i,int j){
    if(j==m) return 0;//如果有连续的m坑都有物质，此方案不行 
    if(i==n) {
       ans++;//能到n,说明之前没有连续的m坑都有物质，此方案可以
       return 1;
    } 
    int ans=0;
    dfs(i+1,0);//第i+1个坑里没有物质，之后的坑里是否放物质与前面没有联系了 
    dfs(i+1,j+1);//前i+1个坑中最后连续j+1个坑里都有物质， 
}
int main(){
    int res;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    dfs(0,0);//从第0个坑里开始放 
    printf("%d",ans); 
} 

方二：
dp[n]表示在n个坑中，每个坑都有两种可能，放或者不放，但不能有连续m个坑里都有物质

从头开始向后放，每个坑都有两种可能，放或者不放

开头前i个连续的坑中都有核物质（0<=i<=m-1)，则第i+1个坑必空。 i+1后面的坑再放和前面的就又没关系了

i=0时的放法为dp[n-1]； 在后n-1个坑中，每个坑都有两种可能，放或者不放，但不能有连续m个坑里都有物质
i=1时的放法为dp[n-2]； 在后n-2个坑中…………
……………………；
i=m-1时的放法为dp[n-m]。 在后n-m个坑中…………

得dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2]+……+dp[n-m] 。

当n<=m-1时： dp[n]=2*dp[n-1] (无论放还是不放，都不会有连续m个坑里都有)

当n==m时： dp[n]=2*dp[n-1] -1（减去每个坑里都有核物质这种情况）

当n>m时：
dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2]+……+dp[n-m]
dp[n-1]=dp[n-2]+……+dp[n-m]
两式相减得：
dp[n]=dp[n-1]*2-dp[n-m-1]

#include

int main(){
    int n,m,i;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    long long dp[n+1];
    dp[0]=1;//n>1,m>1;
    for(i=1;i<=n;i++){
        if(i<m) dp[i]=dp[i-1]*2;
        else if(i==m) dp[i]=dp[i-1]*2-1;
        else dp[i]=dp[i-1]*2-dp[i-m-1];
    }
    printf("%lld",dp[n]);
}