动态规划之打家劫舍

打家劫舍问题是经典的动态规划问题，首先我们看最简单的一种场景。

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)， 偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

解题思路：

定义一个数据dp,其中dp[i]表示的是小偷到达第i个房间所能偷到的最搞金额。那么这道题的状态转移方程为

dp[i]=max(dp[i-1],dp[i-2]+value[i]);

这个状态转移方程的意思是：小偷到达第i个房间的时候如果不偷这间房间中的现金，那么在到达第i个房间这个状态时，他所得到的金额数目就是第i-1个房间所得到的金额数目，如果小偷偷取第i个房间中的现金，那么他必定不能偷取第i-1个房间中的现金，那么这时小偷所获得的金额为到达第i-2个房间这个状态时所获得的现金加上第i个房间中的现金数目。最后我们只需要在这两个值中取最大值即可。

代码如下:

class Solution {
public:
    int rob(vector& nums) {
        if(nums.size()==0)
            return 0;
        if(nums.size()==1)
            return nums[0];
        vector v(nums.size(),0);
        v[0]=nums[0];
        v[1]=max(nums[0],nums[1]);
        for(int i=2;i

打家劫舍升级版本：

在上次打劫完一条街道之后和一圈房屋后，小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为“根”。 除了“根”之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫，房屋将自动报警。

计算在不触动警报的情况下，小偷一晚能够盗取的最高金额。

示例 1:

输入: [3,2,3,null,3,null,1]

     3
    / \
   2   3
    \   \ 
     3   1

输出: 7 
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 = 3 + 3 + 1 = 7.

这种情况比第一种情况更加复杂，由于涉及到左右孩子节点以及树形结构，我们很自然的想到树状DP的方法，值得注意的是对于树的处理我们下意识的想到用先序，中序，或者后序的方式来遍历树木。这到题目的状态转移方程较为复杂，我们通过代码来讲解转移过程，题目的代码主要如下:

class Solution {
public:
    int rob(TreeNode* root) {
        auto value=DFS(root);
        return max(value[0],value[1]);
    }
    vector DFS(TreeNode*node)
    {
        if(node==nullptr)
            return {0,0};
        auto left=DFS(node->left);
        auto right=DFS(node->right);
        return {node->val+left[1]+right[1],max(left[0],left[1])+max(right[0],right[1])};
    }
};

这段代码是什么意思呢？首先我们看到有两个二维数组left,right。其中left[0]表示的是确定偷左节点后，树木遍历到左节点状态时能够获得的最大金额。其中left[1]表示的是确定偷右节点后，树木遍历到左节点的状态时的能够获得的最大金额。right数组同理。

那么当遍历到父节点时，如果我们偷了父节点就不能偷左节点和右节点，如果没偷父节点，那么我们可以偷它的孩子节点也可以不偷它的孩子节点。