用傅里叶级数表示复平面上的图形

设图形为时间的函数 $f(t)=a(t)+ib(t)$ （a(t)和b(t)为时间的函数）
f(t)为闭环曲线或者有限的曲线
f(t)为闭环曲线时，随着时间t的增加，f(t)在曲线上转圈圈。
f(t)为有限的曲线时，随着时间t的增加，f(t)会从曲线头部走到尾部，然后跳到头部从新走起
显然以上两种情况下f(t)都是时间t下的周期函数，可以由傅里叶级数表示

设f(t)为周期为1的函数,(0,1)为f(t)的一个周期区间
则傅里叶级数的指数形式：
$$f(t)=c_{-n}{e}^{-i2\pi nt}+\cdots +c_{-2}{e}^{-i4\pi t}+c_{-1}{e}^{-i2\pi t}+c_0++c_1{e}^{i2\pi t}+c_2{e}^{i4\pi t}+\cdots +c_n{e}^{i2\pi nt}$$
其中：
$$c_n={\int }_0^{1}f(t)e^{-i2\pi nt}dt$$
$c_n$为f(t)傅里叶级数的各项系数，由f(t)可确定唯一一组$c_n$
由于f(t)是复数函数，则$c_n$可以由复数表示 $c_n=a_n+i{b}_n$ ($a_n,b_n$为常数）

综上，知道图形的函数表达式就可以求出图形的各项傅里叶系数，然后带入傅里叶级数表达式就可以得到图形的傅里叶级数，只要系数$c_n$求得足够多，傅里叶级数就可以表示任何复杂图形

以下是用傅里叶级数表示一个正方形的python代码：

import numpy as np
import turtle as tl


def f_t(N,l):  #定义函数图形，N为取样次数
    n=N/4  #这里直接生成一个复平面上的正方形
    dl=l/int(n) #边被分的最小单元
    f_t=[[0,0] for x in range(4*int(n))] #存储函数坐标的实部与虚部
    for i in range(int(n)):
        f_t[i]=([i*dl,0])
        f_t[i+int(n)]=([l,i*dl])
        f_t[i+2*int(n)]=([l-i*dl,l])
        f_t[i+3*int(n)]=([0,l-i*dl])
    print("函数分割完毕")
    return f_t
        
def c_n(f_t,M):  #求出傅里叶级数的系数cn,M为求取傅里叶系数给个数
    m=M/2 #正负系数各有m个
    N=len(f_t) #f_t的长度，及取样次数
    dt=1/N  #以1/N代替积分算子0.
    c_n=[[0,0] for x in range(2*int(m)+1)] #存储c_n的实部与虚部
    for i in range(-int(m),int(m)+1): #加上一个初始系数c0
        re=0     #暂存c_n的实部
        im=0     #暂存c_n的虚部
        for j in range(N):
            t=dt*j
            re+=(f_t[j][0]*np.cos(2*np.pi*i*t)+f_t[j][1]*np.sin(2*np.pi*i*t))*dt  #实部积分
            im+=(f_t[j][1]*np.cos(2*np.pi*i*t)-f_t[j][0]*np.sin(2*np.pi*i*t))*dt  #虚部积分
        c_n[i+int(m)]=[re,im]
    print("傅里叶系数生成完毕")
    return c_n

if __name__ == '__main__':
    N = 10000  #函数份数
    l = 500 #正方形边长
    
    M = 200  #系数个数
    m = M/2
    c_n=c_n(f_t(N,l),M) #获取f_t对应傅里叶级数的系数c_n
    
    tl.setup(2000,1000)
    tl.penup()
    tl.pensize(2) # 画笔粗细
    
    x = [0] * M
    y = [0] * M
    for t in range(N+1):
        for i in range(-int(m),int(m)+1):
            x[i] = c_n[i+int(m)][0] * np.cos(2 * i * np.pi * t / N) - c_n[i+int(m)][1] * np.sin(2 * i * np.pi * t / N)
            y[i] = c_n[i+int(m)][0] * np.sin(2 * i * np.pi * t / N) + c_n[i+int(m)][1] * np.cos(2 * i * np.pi * t / N)
            
        tl.goto(int(sum(x))-800,int(sum(y))-400) # 正负可以控制图形的左右镜像，上下镜像,乘除可以控制缩放
        tl.pendown()
    
    
    #直接画出来的图形
    tl.penup()
    f_t=f_t(N,l)
    for t in range(N):
        tl.goto(int(f_t[t][0]),int(f_t[t][1])-400)
        tl.pendown()
    tl.done()