位运算技巧总结(持续更新中...)

概述

整理一下常见的关于位运算的用法和技巧.
附上matrix67相关位运算博客:
位运算简介及实用技巧（一）：基础篇
位运算简介及实用技巧（二）：进阶篇(1)
位运算简介及实用技巧（三）：进阶篇(2)
位运算简介及实用技巧（四）：实战篇

内容

消去x最后一位的1

x&(x-1)

比如: 十进制数10的二进制为1010,9的二进制数为1001,那么(1010)&(1001)=1000，现在10的二进制中最后一位的1已经被消去

用途:

1. 可以用来检测一个数是不是2的幂次。

   如果一个数x是2的幂次，那么x>0且x的二进制中只有一个1,所以用x&(x-1)把1消去，应该返回0，如果返回了非0值，证明不是2的幂次

2. 计算一个整数二进制中1的个数

   因为1可以不断的通过x&(x-1)这个操作消去，所以当最后的值变成0的时候，也就求出了二进制中1的个数

3. 如果将整数A转换成整数B,需要改变多少个比特位.

   思考将整数A转换为B，如果A和B在第i（0<=i<32）个位上相等，则不需要改变这个BIT位，如果在第i位上不相等，则需要改变这个BIT位。所以问题转化为了A和B有多少个BIT位不相同。联想到位运算有一个异或操作，相同为0，相异为1，所以问题转变成了计算A异或B之后这个数中1的个数

其他常用操作:

功能	示例	位运算
去掉最后一位	(101101->10110)	x shr 1
在最后加一个0	(101101->1011010)	x shl 1
在最后加一个1	(101101->1011011)	x shl 1+1
把最后一位变成1	(101100->101101)	x or 1
把最后一位变成0	(101101->101100)	x or 1-1
最后一位取反	(101101->101100)	x xor 1
把右数第k位变成1	(101001->101101,k=3)	x or (1 shl (k-1))
把右数第k位变成0	(101101->101001,k=3)	x and not (1 shl (k-1))
右数第k位取反	(101001->101101,k=3)	x xor (1 shl (k-1))
取末三位	(1101101->101)	x and 7
取末k位	(1101101->1101,k=5)	x and (1 shl k-1)
取右数第k位	(1101101->1,k=4)	x shr (k-1) and 1
把末k位变成1	(101001->101111,k=4)	x or (1 shl k-1)
末k位取反	(101001->100110,k=4)	x xor (1 shl k-1)
把右边连续的1变成0	(100101111->100100000)	x and (x+1)
把右起第一个0变成1	(100101111->100111111)	x or (x+1)
把右边连续的0变成1	(11011000->11011111)	x or (x-1)
取右边连续的1	(100101111->1111)	(x xor (x+1)) shr 1
去掉右起第一个1的左边	(100101000->1000)	x and (x xor (x-1))

利用二进制来枚举子集

具体请看博客: 二进制枚举子集详解

异或操作

异或的性质:

x^x=0;
x^0=x;

用途:

1. 数组中，只有一个数出现一次，剩下都出现两次，找出出现一次的数

   因为剩下的都出现了两次，那么异或值肯定为0，所以把所有的数异或起来得到的值就是那个数，可以做一下nyoj-528找球号(三)

2. 其他的用途基本都可以通过这个推出来，想到再写

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转载一个博客
位运算，相比普通的代码最大的优点就是其带来的高效性，也因此可以常在底层源码中看见它们的踪影。

本文就位运算常见的操作作一个总结，若您另有关于位运算巧妙的运用可以于底部留言区留言。

首先还是先来回顾下位操作的基础知识。（除非特别说明，否则以下都以2进制为例）

相关基础

1. 与运算

与运算符”&”是双目运算符。只有对应的两个二进位均为1时，结果位才为1，否则为0。例如：

9 & 5 = 00001001
      & 00000101
      = 00000001
      = 1

2. 或运算

或运算符”|”是双目运算符。只要对应的两个二进位有一个为1时，结果位就为1。例如：

9 | 5 = 00001001
      | 00000101
      = 00001101
      = 13

3. 非运算

非运算符” ~ “为单目运算符。其功能是对参与运算的各二进位求反。例如：

~ 9 = ~ 00001001
    =   11110110
    =   -10

4. 异或运算

异或运算符” ^ “是双目运算符。其功能是对参与运算的二进位相异或，即当两二进位相异时，结果为1，相同就为0。例如：

9 ^ 5 = 00001001
      ^ 00000101
      = 00001100
      = 12

5. 左移和右移

例1	例2
x	01100011
x << 4	00110000
x >> 4(逻辑右移)	00000110
x >> 4(算术右移)	00000110

左移动就是向左移动k位，丢弃最高的k位，并在右端补k个0，也就是常说的当前值乘以2的k次方。

右移动的原理也是相同的，右移k位就是当前数除以2的k次方。唯一不同的是分为逻辑右移和算术右移。

逻辑右移就是无符号移位，右移几位，就在左端补几个0。

算术右移动是有符号移位，和逻辑右移不同的是，算术右移是在左端补k个最高有效位的值，如此看着有些奇特，但对有符号整数数据的运算非常有用。我们知道有符号的数，首位字节，是用来表示数字的正负（1为负）。负数采用补码形式来存储，比如-26（11100110），算术右移1位之后-13（11110011）。如若不是补最高有效位的值1而是补作0的话，右移之后就变成正数了。

经典应用

1. i+(~i)=-1

i取反再与i相加，相当于把所有二进制位设为1，其十进制结果为-1。

2. 计算n+1与n-1

-~n == n + 1，~n为其取反，负号 ’ - ’ 再对其取反并加1。

~-n == n - 1，思路就是找到最低位的第一个1，对其取反并把该位后的所有位也取反，即01001000变为01000111。

3. 取相反数

思路就是取反并加1，也即~n + 1或者(n ^ -1) + 1。

4. if(x == a) x = b; if(x == b) x = a;

利用^运算符的性质，即得x = a ^ b ^ x。

5. n倍数补全

当n为2的幂时，(x + n - 1) & ~(n - 1)会找到第一个大于x的数，且它正好是n的整数倍。

6. 求二进制中1的个数

/* Version 1 */
int count_1_bits(int n)
{
    int count = 0;

    while (n)
    {
        count++;
        n = n & (n - 1);
    }

    return count;
}

/* Version 2 */
int count_1_bits(int n)
{
     x = (x & 0x55555555) + ((x >> 1)  & 0x55555555);
     x = (x & 0x33333333) + ((x >> 2)  & 0x33333333);
     x = (x & 0x0f0f0f0f) + ((x >> 4)  & 0x0f0f0f0f);
     x = (x & 0x00ff00ff) + ((x >> 8)  & 0x00ff00ff);
     x = (x & 0x0000ffff) + ((x >> 16) & 0x0000ffff);

     return x;
}

关于第二个版本，分析如下：（摘自Matrix67-位运算，并作稍微修改）

以十进制数211为例，其二进制为11010011，

| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |   <— 原数
+---+---+---+---+---+---+---+---+
|  1 0  |  0 1  |  0 0  |  1 0  |   <— 第一次运算后
+-------+-------+-------+-------+
|    0 0 1 1    |    0 0 1 0    |   <— 第二次运算后
+---------------+---------------+
|        0 0 0 0 0 1 0 1        |   <— 第三次运算后，得数为 5
+-------------------------------+

整个程序是一个分治的思想。第一次我们把每相邻的两位加起来，得到每两位里1的个数，比如前两位10就表示原数的前两位有2个1。第二次我们继续两两相加，10+01=11，00+10=10，得到的结果是00110010，它表示原数前4位有3个1，末4位有2个1。最后一次我们把0011和0010加起来，得到的就是整个二进制中1的个数。

7. 判断二进制中1的奇偶性

x = x ^ (x >> 1);
x = x ^ (x >> 2);
x = x ^ (x >> 4);
x = x ^ (x >> 8);
x = x ^ (x >> 16);

cout << (x & 1) << endl; // 输出 1 为奇数

以下分析摘自Matrix67-位运算，并作稍微修改，

以十进制数1314520为例，其二进制为0001 0100 0000 1110 1101 1000。

第一次异或操作的结果如下：

  0001 0100 0000 1110 1101 1000
^ 0000 1010 0000 0111 0110 1100
= 0001 1110 0000 1001 1011 0100

得到的结果是一个新的二进制数，其中右起第i位上的数表示原数中第i和i+1位上有奇数个1还是偶数个1。比如，最右边那个0表示原数末两位有偶数个1，右起第3位上的1就表示原数的这个位置和前一个位置中有奇数个1。

对这个数进行第二次异或的结果如下：

  0001 1110 0000 1001 1011 0100
^ 0000 0111 1000 0010 0110 1101
= 0001 1001 1000 1011 1101 1001

结果里的每个1表示原数的该位置及其前面三个位置中共有奇数个1，每个0就表示原数对应的四个位置上共偶数个1。

一直做到第五次异或结束后，得到的二进制数的最末位就表示整个32位数里1的奇偶性。

8. 判断奇偶性

/* 判断是否是奇数 */
bool is_odd(int n)
{
    return (n & 1 == 1);
}

9. 不用临时变量交换两个数

/* 此方法对 a 和 b 相等的情况不适用 */
a ^= b;  
b ^= a;  // 相当于 b = b ^ ( a ^ b );
a ^= b; 

10. 取绝对值

/* 注意：以下的数字 31 是针对 int 大小为 32 而言 */
int abs(int n)
{  
    return (n ^ (n >> 31)) - (n >> 31);  
} 

其中n >> 31取得n的正负号。

• 若n为正数，n >> 31的所有位等于0，其值等于0。表达式转化为n ^ 0 - 0，等于n；

• 若n为负数，n >> 31的所有位等于1，其值等于-1。表达式转化为(n ^ -1) + 1，这很好理解，负数的相反数就是对其补码取反再加1，(n ^ -1) + 1就是在做这样的事。

11. 取两数的较大值

/* 注意：以下的数字 31 是针对 int 大小为 32 而言 */
int max(int a, int b)
{
    return (b & ((a - b) >> 31)) | (a & (~(a - b) >> 31));
}  

如果a >= b，(a - b) >> 31为0，否则为-1。

12. 判断符号是否相同

/* 若 x，y 都为 0，输出真；若只有一个为 0，不会报错但运行结果是错的，因为 0 没有正负之分 */
bool is_same_sign(int x, int y)
{
    return (x ^ y) >= 0;
}  

13. 判断一个数是不是2的幂

bool is_power_of_two(int n)
{
    return (n > 0) ? (n & (n - 1)) == 0 : false;
}  

如果是2的幂，n - 1就是把n的二进制的最低的那个1取反为0，并把后面的0全部取反为1。

14. 取余2的幂次方

/* 其中 m 为 2 的幂次方，并对 m 取余 */
int mod(int n, int m)
{
    return n & (m - 1);  
}

参考文献

• Matrix67.
• Bit Twiddling Hacks.