Leetcode 198：打家劫舍（超详细的解法！！！）

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你**在不触动警报装置的情况下，**能够偷窃到的最高金额。

示例 1:

输入: [1,2,3,1]
输出: 4
解释: 偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
     偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例 2:

输入: [2,7,9,3,1]
输出: 12
解释: 偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
     偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

解题思路

首先不太难想到递归解法，定义函数$f(i)$表示抢nums[i:]这个区间内可以获得的最多钱，那么对于第i和位置来说有两种选择：1）抢 2）不抢

• $f(i)=max(f(i+1),f(i+2)+nums[i])$

from functools import lru_cache
class Solution:
    def rob(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)

        @lru_cache(None)
        def dfs(cur):
            if cur >= n: return 0
            return max(dfs(cur + 1), dfs(cur + 2) + nums[cur])
        return dfs(0)

可以将递归形式写成动态规划的迭代形式。此时需要考虑三个边界条件，当nums为空的时候，返回0；当nums只有一个数的时候，返回这个数即可；当nums有两个数的时候，返回二者的最大值。

class Solution:
    def rob(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        dp = [0] * (n + 2)
        for i in range(n):
            dp[i] = max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i])
        return dp[n - 1]

上面的写法运用了一些trick，我们将dp空间故意多开了两个，此时就不用分别讨论上面的三个边界条件了。

上面的状态转移过程中实际上只用到了两个状态，所以空间复杂度可以继续简化。

class Solution:
    def rob(self, nums: List[int]) -> int:
        pre, cur = 0, 0
        for i in nums:
            pre, cur = cur, max(pre + i, cur)
        return cur

我将该问题的其他语言版本添加到了我的GitHub Leetcode

如有问题，希望大家指出！！！