中奖概率的谬误

中奖概率期望的谬误

问题：假设独立事件发生概率为P，那么重复多少次，独立事件期望发生，即期望值为1？
回答：这个问题很简单，有点概率论基础的，都知道： E=1/p。即独立事件的概率是50%，那么期望重复两次就能发生，例如抛硬币问题。

在生活中，人们总是会想当然的认为期望值达到了，事件就一定会发生。就像抛硬币两次应该就会出现至少一次正面了，潜意识中认为这个概率是很大的，但实际上这个概率有多大呢？ 1−50%∗50%=75% 1 − 50 % ∗ 50 % = 75 % ，看上去还是蛮不错的。

别急，还有呢？如果事件概率是0.01， 重复100次， 是不是至少发生1次的概率很高呢？如果你认为这是100%发生，或者90%发生，那么就在错特错了，让我们科学的计算一下这个概率值：
1−0.99100=63.40% 1 − 0.99 100 = 63.40 %
看看，是不是有点意外，这个概率好像没有想象的那么高啊，是吧！

如果独立事件概率是0.001呢？0.0001呢？ 或者是更小呢？重复期望值的重复次数，发生至少一次的概率，最后算出来会发现基本上稳定在63%左右。

EP=1−(1−P)1/P E P = 1 − ( 1 − P ) 1 / P

为什么独立事件的概率越来越小，EP会稳定在63%左右呢？
(1−p)1/p=((1+1/（1/−p）)1/−p)−1 ( 1 − p ) 1 / p = ( ( 1 + 1 / （ 1 / − p ） ) 1 / − p ) − 1
let:x=1/−p l e t : x = 1 / − p
then:EP=1−((1+1/x)x)−1 t h e n : E P = 1 − ( ( 1 + 1 / x ) x ) − 1
p→0,x→无穷，EP=1−e−1=1−1/e;e是自然常数 p → 0 , x → 无 穷 ， E P = 1 − e − 1 = 1 − 1 / e ; e 是 自 然 常 数

是不是很神奇？当独立事件概率小到趋进零时，重复期望次数，至少发生一次的概率趋向1减自然常数 e e （2.71828）的倒数：

1−1/e=63.21% 1 − 1 / e = 63.21 %

好了，重复期望次数，事件发生的概率大约就63%，是不是与平常我们心中认为的概率相去甚远呢？
重复期望次数，事件发生与没发生的概率比值是：
(e−1):1 ( e − 1 ) : 1
也就是 1.7：1 1.7 ： 1 左右， 不是想象中的那么高哦。

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