ACM 进阶学习第一课----同余相关之中国剩余定理

问题引入

"物不知数"问题:
今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?
答曰:'二十三.'
术曰:三三数之剩二,置一百四十,五五数之剩三,置六十三,七七数之剩二,置三十,并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得.凡三三数之剩一,则置七十,五五数之剩一,则置二十一,七七数之剩一,则置十五,即得." 
 --孙子算经

当代解释

令任意固定整数为M,当M/A余a,M/B余b,M/C余c,M/D余d,…,M/Z余z时,这里的A,B,C,D,…,Z为除数,除数为任意自然数(如果为0,没有任何意义,如果为1,在孙子定理中没有计算和探讨的价值,所以,不包括0和1)时;余数a,b,c,d,z为自然整数时。
1、当命题正确时,在这些除数的最小公倍数内有解,有唯一的解,每一个最小公倍数内都有唯一的解;当命题错误时,在整个自然数范围内都无解。
2、当M在两个或两个以上的除数的最小公倍数内时,这两个或两个以上的除数和余数可以定位M在最小公倍数内的具体位置,也就是M的大小。
3、正确的命题,指没有矛盾的命题:分别除以A,B,C,D,…,Z不同的余数组合个数=A,B,C,D,…,Z的最小公倍数=不同的余数组合的循环周期.

问题分析

一、
"物不知数"问题的抽象表示:
x≡2(mod 3)
x≡3(mod 5)
x≡2(mod 7)

求满足上述条件的最小正整数x

二、
"物不知数"解法的数学表示:
任取被3除余2的5和7的倍数:140
任取被5除余3的7和3的倍数:63
任取被7除余2的3和5的倍数:30
140+63+30=233

减去3,5,7的公倍数中不超过233的最大的数210得到答案23

三、问题归化
一般性问题:给定两两互质的正整数n1,n2,...,nk,要求找到最小的正整数a,满足a≡ai(mod ni)
将问题分解成若干次求解二元模线性方程组的解


算法步骤

令n=n1n2···nk,mi=n/ni
利用扩展欧几里德算法计算出xi满足mixi ≡ 1(mod ni),由于n1,n2,...,nk两两互质,必有gcd(mi,ni)=1,即可保证一定有解
则a≡a1x1m1 + a2x2m2 + ... + akxkmk (mod n)


典型应用

大整数的表示
选取两两互素的正整数n1,n2,...,nk
已知对每个ni取模的值ri,就可以唯一确定一个1~n1n2...nk的大整数
做大整数加,减,乘法时,只要保证在这个范围内,均可转化为分别对相应的余数进行计算

模板代码

/*****  ACM之中国剩余定理 ********/

/******** written by C_Shit_Hu ************/

扩展欧几里得算法的运用///

/****************************************************************************/
/* 
由于VC下面无法使用cout或者cin输出64位的整数。
故改用printf.
*/
/****************************************************************************/

#include
using namespace std;
typedef _int64 llong;
llong b[1000],w[1000];


// 扩展欧几里得算法
// 递归的形式
llong extended_euclid(llong a, llong b, llong &x, llong  &y) 
{
    llong d;
    if(b == 0) 
	{x = 1; y = 0; return a;}
	
    d = extended_euclid(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

// 中国剩余定理
llong chinese_remainder(int len) 
{ 
    llong i, d, x, y, m, n, ret;
    ret = 0; n = 1; 
    for(i=0; i < len ;i++) n *= w[i];
    for(i=0; i < len ;i++) 
	{ 
        m = n / w[i];
        d = extended_euclid(w[i], m, x, y);
        ret = (ret + y*m*b[i]) % n;
    }
    return (n + ret%n) % n;
}

int main()
{
    int  n,i;
    llong res;
	// 输入测试的除数和余数的组数
	cout << "输入测试的除数和余数的组数: " ;
    while (scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
		// 输入除数和余数
		cout << "输入余数和除数:" << endl;
        for(i=0;i


运行结果:

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【未完待续】。。。。














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