1.随机事件与随机变量打卡学习

随机实验满足三个条件:
  1. 可以在相同条件下重复进行
  2. 结果有多种可能性,并且所有可能结果事先已知
  3. 作一次试验究竟哪个结果出现,事先不能确定

随机实验的所有可能的集合称为样本空间,一般记为Ω,样本空间中的每一个结果称为样本点,一般记为ω

全概率公式与贝叶斯公式

B 1 , B 2 , . . . B_1,B_2,... B1,B2,...​是样本空间 Ω 的一个划分,A 为任一事件,则 P ( A ) = ∑ i = 1 ∞ P ( B i ) P ( A ∣ B i ) P(A) = \sum_{i=1}^{\infty } {P(B_i)}P(A|B_i) P(A)=i=1P(Bi)P(ABi),称为全概率公式

P ( B i ∣ A ) = P ( B i A ) P ( A ) = P ( A ∣ B i ) P ( B i ) ∑ j = 1 ∞ P ( B j ) P ( A ∣ B j ) , i = 1 , 2 , . . . P(B_i|A) =\frac {P(B_i A)} {P(A)} = \frac {P(A|B_i )P(B_i)} {\sum_{j=1}^{\infty }P( B_j)P(A|B_j)} ,i=1,2,... P(BiA)=P(A)P(BiA)=j=1P(Bj)P(ABj)P(ABi)P(Bi),i=1,2,... ,称为贝叶斯公式,其中称 P ( B i ) ( i = 1 , 2 , . . . ) P(B_i)(i=1,2,...) P(Bi)(i=1,2,...) 为先验概率, P ( B i ∣ A ) ( i = 1 , 2 , . . . ) P(B_i|A)(i=1,2,...) P(BiA)i=1,2,...为后验概率。

连续型随机变量的分布函数

X X X 是一个随机变量,对任意的实数 x x x ,令 F ( x ) = P { X < = x } , x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) F(x) = P \{ X<=x\} ,x \in (- \infty ,+ \infty) F(x)=P{ X<=x},x(,+),则称 F ( x ) F(x) F(x) 为随机变量 x x x 的分布函数,也称为概率累积函数。

常见的离散型随机变量
  • 伯努利二项分布
    如果一个随机试验只有两种可能的结果 A A A A ‾ \overline A A,并且 P ( A ) = p , P ( A ‾ ) = 1 − p = q P(A) = p,P(\overline A) =1-p=q P(A)=pP(A)=1p=q,其中, 0 < p < 1 00<p<1 ,则称此试验为Bernoulli(伯努利)试验. Bernoulli试验独立重复进行 n n n 次,称为 n n n 重伯努利试验。

  • 泊松分布
    设随机变量 X X X所有可能取的值为 0 , 1 , 2 … , 0,1,2…, 012,而取各个值的概率为
    P ( X = k ) = λ k e − k k ! , k = 0 , 1 , 2 … P(X=k)=\frac{λ^ke^{-k}}{k!},k=0,1,2… P(X=k)=k!λkek,k=012,其中 λ > 0 λ>0 λ0是常数,则称 X X X服从参数为 λ λ λ的泊松分布

随机变量的数字特征
  • 连续型随机变量的数学期望
    设随机变量 X X X 的概率密度函数为 f ( x ) f(x) f(x) ,若积分 ∫ − ∞ + ∞ ∣ x ∣ f ( x ) d x \int_{- \infty}^{+ \infty}{|x|f(x)}dx +xfxdx 收敛, 称积分 ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x \int_{- \infty}^{+ \infty}{xf(x)}dx +xfxdx 的值为随机变量 X X X 的数学期望,记为 E ( X ) E(X) E(X) ,即:
    E ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x E(X)= \int_{- \infty}^{+ \infty}{xf(x)}dx E(X)=+xfxdx
    E ( X ) E(X) E(X) 又称为均值。

  • 连续(离散)型随机变量的方差
    X X X 为随机变量,如果 E { [ X − E ( X ) ] 2 } E\{ [X-E(X)]^2\} E{ [XE(X)]2} 存在,则称 E { [ X − E ( X ) ] 2 } E\{ [X-E(X)]^2\} E{ [XE(X)]2} X X X 的方差。记为 V a r ( X ) Var(X) Var(X) , 即:
    V a r ( X ) = E { [ X − E ( X ) ] 2 } Var (X)= E\{ [X-E(X)]^2\} VarX=E{ [XE(X)]2}
    并且称 V a r ( X ) \sqrt{Var(X)} Var(X) X X X 的标准差或均方差。

  • 协方差与相关系数
    X , Y X, Y X,Y 为两个随机变量,称 E { [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] } E\{ [X-E(X)] [Y-E(Y)]\} E{ [XE(X)][YE(Y)]} X X X Y Y Y 的协方差,记为 C o v ( X , Y ) Cov(X, Y) Cov(X,Y),即:
    C o v ( X , Y ) = E { [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] } Cov(X, Y) = E\{ [X-E(X)] [Y-E(Y)]\} Cov(X,Y)=E{ [XE(X)][YE(Y)]}
    V a r ( X ) > 0 , V a r ( Y ) > 0 \sqrt {Var(X)} >0 ,\sqrt {Var(Y)} >0 Var(X) >0Var(Y) >0 时,称
    ρ ( X , Y ) = C o v ( X , Y ) V a r ( X ) V a r ( Y ) \rho(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt {Var(X)} \sqrt {Var(Y)}} ρX,Y=Var(X) Var(Y) Cov(XY)

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