1.随机事件与随机变量打卡学习

随机实验满足三个条件：

1. 可以在相同条件下重复进行
2. 结果有多种可能性，并且所有可能结果事先已知
3. 作一次试验究竟哪个结果出现，事先不能确定

随机实验的所有可能的集合称为样本空间，一般记为Ω，样本空间中的每一个结果称为样本点，一般记为ω

全概率公式与贝叶斯公式

设$B_1,B_2,...$​是样本空间 Ω 的一个划分，A 为任一事件，则$P(A)={\sum }_{i=1}^{\infty }P(B_i)P(A|B_i)$，称为全概率公式

$P(B_i|A)=\frac{P(B_{i}A)}{P(A)}=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{{\sum }_{j=1}^{\infty }P(B_j)P(A|B_j)},i=1,2,...$ ，称为贝叶斯公式，其中称$P(B_i)(i=1,2,...)$ 为先验概率，$P(B_i|A)（i=1,2,...）$为后验概率。

连续型随机变量的分布函数

设 $X$ 是一个随机变量，对任意的实数 $x$ ，令$F(x)=P\{X<=x\},x\in (-\infty ,+\infty )$，则称 $F(x)$ 为随机变量 $x$ 的分布函数，也称为概率累积函数。

常见的离散型随机变量

• 伯努利二项分布
  如果一个随机试验只有两种可能的结果 $A$ 和 $\overline{A}$，并且$P(A)=p，P(\overline{A})=1-p=q$，其中，$0<p<1$ ，则称此试验为Bernoulli(伯努利)试验. Bernoulli试验独立重复进行 $n$ 次，称为 $n$ 重伯努利试验。

• 泊松分布
  设随机变量$X$所有可能取的值为$0，1，2\dots ,$而取各个值的概率为
  $P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-k}}{k!},k=0，1，2\dots$，其中$\lambda ＞0$是常数，则称$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布

随机变量的数字特征

• 连续型随机变量的数学期望
  设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$ ,若积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }|x|f（x）dx$ 收敛， 称积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }xf（x）dx$ 的值为随机变量 $X$ 的数学期望，记为 $E(X)$ ,即：
  $$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf（x）dx$$
  $E(X)$ 又称为均值。

• 连续（离散）型随机变量的方差
  设 $X$ 为随机变量，如果 $E\{[X-E(X){]}^2\}$ 存在，则称 $E\{[X-E(X){]}^2\}$ 为 $X$ 的方差。记为 $Var(X)$ , 即：
  $$Var（X）=E\{[X-E(X){]}^2\}$$
  并且称 $\sqrt{Var(X)}$ 为 $X$ 的标准差或均方差。

• 协方差与相关系数
  设 $X,Y$ 为两个随机变量，称 $E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}$ 为 $X$ 和 $Y$ 的协方差，记为 $Cov(X,Y)$，即：
  $$Cov(X,Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}$$
  当 $\sqrt{Var(X)}>0，\sqrt{Var(Y)}>0$ 时，称
  $$\rho （X,Y）=\frac{Cov(X，Y)}{\sqrt{Var(X)}\sqrt{Var(Y)}}$$