线性常系数齐次递推总结

线性常系数齐次递推总结

本文为作者的一些理解，如有错误之处请指出。

概念

其实就是这样一个式子：

\[ a_n=\alpha_1a_{n-1}+\alpha_2a_{n-2}+\alpha_3a_{n-3}+...+\alpha_ka_{n-k} \]

因为它是线性的，没有高次的项，而且次数都相等，没有一些不是常数的奇怪函数夹在里面

所以它叫这个名字

还有它的特征方程是

\[ x^k=\alpha_1x^{k-1}+\alpha_2x^{n-2}+\alpha_3x^{n-3}+...+\alpha_kx^{n-k} \]

这个解出来会有很大的用途

应用

主要是考虑\(k=2\)的情况主要是高次我不会

那么就是

\[ f_n=\alpha_1f_{n-1}+\alpha_2f_{n-2} \]

它的一个特征方程

\[ x^2=\alpha_1x+\alpha_2 \]

有三种解的情况：

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1.两个实根：

有

\[ f_n=cx_1^n+dx_2^n \]

我们将几个知道\(f_n\)的\(n\)带进去，就可以解出来了

例如斐波那契数列：

\[ f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\\ f_0=0,f_1=1 \]

特征方程:

\[ x^2=x+1\\ x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt5}{2} \]

代入\(f_0=0,f_1=1\)

\[\begin{cases} 0=c+d\\ \\ \\ 1=c*\frac{1+\sqrt5}{2}+d*\frac{1-\sqrt5}{2} \end{cases}\]

解得

\[ c=\frac{\sqrt 5}{5},d=-\frac{\sqrt 5}{5} \]

所以通项公式

\[ f_n=\frac{\sqrt 5}{5}\left((\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n\right) \]

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2.一个实根

和上面一样代

其中

\[ f_n=(c+dn)x^n \]

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3.有一组共轭复根

有一对共轭复根\(x_1=ρeiθ\)和\(x_2=ρe-iθ\)时，

\(f_n=c*ρncosnθ+d*ρnsinnθ\)

其中，\(c,d\)是待定系数。

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一些题目

以后再补，咕咕咕

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