HDU---2069（母函数 二维、三维DP）

这题可以 母函数 或者 DP。

母函数：

为了描述每一种取法的钱数个数要限制到 $100$ ，则$sup[]$与$temp[]$数组再加一个一维，表示这个状态的钱数是 $i$ 个，然后多项式合并时判断是否超过$100$，超过则不计数。

DP：

同理，一般的 $DP[i][j]$ 表示的是 前 $i$ 类美分，所能达到钱数 $j$ 的方案数。

为了限制钱币个数不超过 $100$ ，故加了一个状态，加一个维度即可。

就有设 $dp[i][j][k]$ 表示前 $i$ 类美分，用去了 $j$ 个钱币能达到钱数 $k$ 的方案数。

那么由于每类钱个数不限，故采用完全背包形式进行 $DP。$

1、如果当前钱币一个都无法装下，故方案数不变，有 $dp[i-1][j][k]。$

2、如果当前钱币够一个或以上，按照 完全背包，对于从本层开始（本种类钱币开始），然后一直拿，能拿就拿（跟完全背包一样），则有 $dp[i][j-1][k-a[i]]$ ，注意能拿就拿，则每次拿一件，所以个数是 减 $1。$

以上为 $三维DP$ 状态转移，然后发现与完全背包类似，且由 $dp[i-1]$ 转移过来，可以降成二维。

以下是母函数、三维DP以及二维DP 的代码：

母函数：

#include
#include
#include
#define maxn 5008
using namespace std;
int a[6] = {
      0,1,5,10,25,50 };
int n;
int sup[101][maxn], temp[101][maxn];
int main()
{
     
    while (~scanf_s("%d", &n))
    {
     
        memset(sup, 0, sizeof(sup));
        memset(temp, 0, sizeof(temp));
        for (int i = 0; i <= min(n, 100); i++) {
     
            sup[i][i] = 1;
        }
        for (int i = 2; i <= 5; i++) {
     
            for (int j = 0; j <= n; j++) {
     
                for (int k = 0; k + j <= n; k += a[i]) {
     
                    for (int r = 0; r <= 100; r++) {
     
                        if (r + k / a[i] > 100) break;
                        temp[r + k / a[i]][j+k] += sup[r][j];
                    }
                }
            }
            for (int j = 0; j <= n; j++) {
     
                for (int k = 0; k <= 100; k++) {
     
                    sup[k][j] = temp[k][j];
                    temp[k][j] = 0;
                }
            }
        }
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i <= 100; i++) {
     
            ans += sup[i][n];
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
}

三维DP：

#include
#include
#include
using namespace std;
int a[6] = {
      0,1,5,10,25,50 };
int dp[6][101][300];
int n; 
int main()
{
     
	while (~scanf("%d", &n))
	{
     
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		for (int i = 0; i <= 5; i++) {
     
			dp[i][0][0] = 1;
		}
		for (int i = 1; i <= 5; i++) {
     
			for (int j = 1; j <= 100; j++) {
     
				for (int k = 1; k <= n; k++) {
     
					dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];
					if (k >= a[i])
						dp[i][j][k] += dp[i][j - 1][k - a[i]];
				}
			}
		}
		int ans = 0;
		for (int i = 0; i <= 100; i ++ ) {
     
			ans += dp[5][i][n];
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
}

二维DP：

#include
#include
#include
using namespace std;
int a[6] = {
      0,1,5,10,25,50 };
int dp[101][300];
int n; 
int main()
{
     
	while (~scanf("%d", &n))
	{
     
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		dp[0][0] = 1;
		for (int i = 1; i <= 5; i++) {
     
			for (int j = 1; j <= 100; j++) {
     
				for (int k = a[i]; k <= n; k++) {
     
					dp[j][k] += dp[j - 1][k - a[i]];
				}
			}
		}
		int ans = 0;
		for (int i = 0; i <= 100; i++) {
     
			ans += dp[i][n];
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
}