C语言:最长上升子序列LIS算法实现

最长上升子序列问题是各类信息学竞赛中的常见题型，也常常用来做介绍动态规划算法的引例，笔者接下来将会对POJ上出现过的这类题目做一个总结，并介绍解决LIS问题的两个常用算法(n^2)和(nlogn).
　　问题描述:给出一个序列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7....an,求它的一个子序列（设为s1,s2,...sn），使得这个子序列满足这样的性质，s1
　　例如有一个序列:1 7 3 5 9 4 8,它的最长上升子序列就是 1 3 4 8 长度为4.
　　算法1(n^2):我们依次遍历整个序列，每一次求出从第一个数到当前这个数的最长上升子序列，直至遍历到最后一个数字为止，然后再取dp数组里最大的那个即为整个序列的最长上升子序列。我们用dp[i]来存放序列1-i的最长上升子序列的长度，那么dp[i]=max(dp[j])+1,(j∈[1, i-1]); 显然dp[1]=1,我们从i=2开始遍历后面的元素即可。
　　下面是模板：
　　//最长上升子序列(n^2)模板
　　//入口参数：1.数组名称 2.数组长度（注意从1号位置开始）
　　template
　　int LIS(T a[],int n)
　　{
　　int i,j;
　　int ans=1;
　　int m=0;
　　int *dp=new int[n+1];
　　dp[1]=1;
　　for(i=2;i<=n;i++)
　　{
　　m=0;
　　for(j=1;j
　　{
　　if(dp[j]>m&&a[j]
　　m=dp[j];
　　}
　　dp[i]=m+1;
　　if(dp[i]>ans)
　　ans=dp[i];
　　}
　　return ans;
　　}
　　算法2(nlogn):维护一个一维数组c，并且这个数组是动态扩展的，初始大小为1，c[i]表示最长上升子序列长度是i的所有子串中末尾最小的那个数，根据这个数字，我们可以比较知道，只要当前考察的这个数比c[i]大，那么当前这个数一定能通过c[i]构成一个长度为i+1的上升子序列。当然我们希望在C数组中找一个尽量靠后的数字，这样我们得到的上升子串的长度最长，查找的时候使用二分搜索，这样时间复杂度便下降了。　　模板如下：
　　//最长上升子序列nlogn模板
　　//入口参数:数组名+数组长度，类型不限，结构体类型可以通过重载运算符实现
　　//数组下标从1号开始。
　　/**//BEGIN_TEMPLATE_BY_ABILITYTAO_ACM
　　template
　　int bsearch(T c[],int n,T a)
　　{
　　int l=1, r=n;
　　while(l<=r)
　　{
　　int mid = (l+r)/2;
　　if( a > c[mid] && a <= c[mid+1] ) return mid+1; // >&&<= 换为: >= && <
　　else if( a < c[mid] ) r = mid-1;
　　else l = mid+1;
　　}
　　}
　　template
　　int LIS(T a[], int n)
　　{
　　int i, j, size = 1;
　　T *c=new T[n+1];
　　int *dp=new int[n+1];
　　c[1] = a[1]; dp[1] = 1;
　　for(i=2;i<=n;++i)
　　{
　　if( a[i] <= c[1] ) j = 1;// <= 换为: <
　　else if( a[i] >c[size] )
　　j=++size; // > 换为: >=
　　else
　　j = bsearch(c, size, a[i]);
　　c[j] = a[i]; dp[i] = j;
　　}
　　return size;
　　}

//加上后来

最长上升子序列的O(n＊logn)算法分析如下:

先回顾经典的O(n＾2)的动态规划算法，设a[t]表示序列中的第t个数，dp[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度，初始时设dp [t] = 0(t = 1, 2, ..., len(a))。则有动态规划方程：dp[t] = max{1, dp[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且a[j] < a[t])。

现在，我们仔细考虑计算dp[t]时的情况。假设有两个元素a[x]和a[y]，满足

(1)x < y < t

(2)a[x] < a[y] < a[t]

(3)dp[x] = dp[y]

此时，选择dp[x]和选择dp[y]都可以得到同样的dp[t]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择a[x]还是应该选择a[y]呢？

很明显，选择a[x]比选择a[y]要好。因为由于条件(2)，在a[x+1] ... a[t-1]这一段中，如果存在a[z]，a[x] < a[z] < a[y]，则与选择a[y]相比，将会得到更长的上升子序列。

再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据dp[]的值进行分类。对于dp[]的每一个取值k，我们只需要保留满足dp[t] = k的所有a[t]中的最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{a[t]} (dp[t] = k)。

注意到D[]的两个特点：

(1)　D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。

(2)　D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。

利用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断a[t]与D[len]。若a [t] > D[len]，则将a[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = a [t]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < a[t]。令k = j + 1，则有a [t] <= D[k]，将a[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，更新D[k] = a[t]。最后，len即为所要求的最长上升子序列的长度。

在上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！

二分查找法见：http://blog.163.com/quxp0718@126/blog/static/96937938200972823041497/

核心代码：

int binsearch(int x) //找到最小的大于等于它的数

{

int l = 1, r = len, mid;

while (l <= r)

{

mid = (l + r) >> 1;

if (d[mid-1] <= x && x < d[mid]) return mid;

else if (x > d[mid]) l = mid + 1;

else r = mid - 1;

}

}

int main()

{

scanf ("%d", &n);

for (i = 1; i<= n; i++)

scanf ("%d", &a[i]);

memset (d, 0, sizeof (d));

d[1] = a[1];

len = 1;

for (i = 2; i <= n; i++)

{

if (a[i] < d[1]) j = 1;

else if (a[i] > d[len]) j = ++len;

else j = binsearch (a[i]);

d[j] = a[i];

}

printf ("%d\n", len);

return 0;

}