IVS-163/167雷达距离测量的误差处理

第一篇 误差处理基础

一、测量值的确定

1.直接测量值的确定——算术平均值

    如果对一物理量进行多次测量。 例如对物理量 X 等精度测量，得到一系列$x_1，x_2，\dots ，x_n$数值，在测量没有错误及符合统计规律的情况下，可以用算术平均值 X 表示测量的最佳值，即

$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i\text{\hspace{1em}(1)}$$

    可以证明，当测量次数无限多时，算术平均值将无限接近真值。对于有限次测量，平均值会随着测量次数的不同而有所改变，也会因不同范围的测量数据而稍有差别。

2.间接测量值的确定

    对于间接测量值$w=f(x,y,\dots )$，它由直接测量值$(x,y,\dots )$所确定。当多次测量时，有两种可能的情况。
  （1） 对于各直接测量值$(x_i,y_i,\dots )$相互独立地进行测量，且测量条件变化幅度小。首先分别求出各自的算术平均值$(\bar{x},\bar{y},...)$，然后将其带入函数关系式$\bar{w}=f(x,y,\dots )$
中求得 w 的测量值。

$$\bar{w}=f(\bar{x},\bar{y},...)\text{\hspace{1em}(2)}$$

  （2） 同一条件下，对各量测量一遍，得一组$(x_i,y_i,\dots )$，相应的有$w_i=(x_i,y_i,\dots )$，而每次间接测量之间又是相互独立的，用测量算术平均值$\bar{w}$作为测量值。

$$\bar{w}=\sum _{i=1}^k{w}_i/k=\sum _{i=1}^{k}f(x_i,y_i,...)/k\text{\hspace{1em}(3)}$$

    通常，当测量条件没有大幅度变化时，两种计算方法所得到的结果是极其相近的。所以，除了测量条件变化幅度过大时必须采用式(3)外，一般都可以采用较简单的式(2)来计算.

二、测量误差

(一)误差的定义

1.绝对误差

    若实际测得值 X 与该物理量的客观真值 A 之间的差值为$\delta A$，称$\delta A$为测量值的绝对误差。

2.相对误差

    绝对误差表示往往不能反映测量的精确程度，为了弥补绝对误差的不足，我们引进相对误差$E_r。$根据所取的相对参考值的不同,可分为：

• 实际相对误差=[误差／真值]的百分数，即：$E_r=\frac{\delta }{A}\times 100\%$
• 标称相对误差=[误差／测量值]的百分数， 即：$E_r=\frac{\delta }{X}\times 100\%$
• 额定相对误差（或称可用误差） =[误差／满刻度值]的百分数，即：$E_r=\frac{\delta }{X_{max}}\times 100\%$

(二)误差的分类及处理方法

    误差按性质和来源分为系统误差和偶然误差(随机误差)。

1.系统误差

    在同一实验条件下多次测量同一物理量时，误差的绝对值和符号保持恒定；或在条件改变时按某一确定的规律变化的误差。

（1）系统误差的来源

• 理论误差：由于测量原理所依据的理论具有一定的近似性，从而在测量结果中引入误差。
• 人为误差：由于观察者的生理和心理因素引起测量结果的误差。
• 环境误差：由于环境(如温度、大气、电磁场等)的影响而产生的误差。
• 仪器误差：由于测量所用的工具(仪器、量具等)本身不完善而产生的误差。它包括：仪器的示值误差、仪器的零值误差以及仪器机构误差和测量附件误差等。
• 装置误差：由于测量设备，仪器和电路的安装、布置、调整不当而产生的误差。

（2）如何发现系统误差

• 理论分析法
    a. 分析实验理论公式所要求的条件在测量过程中是否得到满足。
    b. 分析仪器要求的使用条件是否得到满足。
• 对比测量法
    a. 实验方法与测量方法的对比：用不同的实验方法测量同一个被测量，如果测量的结果在偶然误差允许的范围内不重合，则说明其中至少有一种方法存在系统误差。同一种实验方法，有时改变测量方法也可发现系统误差。
    b. 仪器的对比：一个量用不同的仪器同时或分别地进行测量可发现仪器的系统误差。
    c. 改变实验参数进行对比。
    d. 换人测量，发现人员误差。
• 数据分析法
    当偶然误差很小时，将测量的偏差$\delta N_i=N_i-\bar{N}$按测量的先后次序排列，观测$\delta N_i$的变化，如果$\delta N_i$呈现规律性变化，如线性增大或减小，稳定的周期性变化，则必有系统误差存在。

（3）恒定系统误差的消除

    系统误差的特点是它的确定性，因此不能用重复多次测量的方法去消除或减小，没有像偶然误差那样统一的处理方法。常用的消除系统误差的方法有：

• 消除产生系统误差的根源。
• 对测量值做修正，即真值＝测量值±修正值。
• 对其他形式的恒定系统误差采取适当的测量方法去抵消，常用的方法有异号法 、交换法 、替代法 、零示法 。
• 可变系统误差(变值系统误差或对称变化系统误差)的消除。

2.偶然误差(又称随机误差)

     在实际相同的条件下，多次测量同一物理量时，误差的绝对值和符号的变化，时大时小，时正时负，以随机的方式变化的误差。偶然误差服从正态分布(高斯分布)，增加测量次数可以减小误差，但不能完全消除。

3.粗大误差

     它是由实验者的失误造成的,如在记录和计算数据时写错数据，或者实验操作不当、仪器损坏等。这是一种人为因素的错误，实验者必须要避免它。我们所说的误差不应包括这类误差。

4.异常数据的剔除

     剔除测量列中异常数据的标准有几种，有$3{\sigma }_x$准则、肖维准则、格拉布斯准则等。下面是$3{\sigma }_x$准则：
     统计理论表明，测量值的偏差超过$3{\sigma }_x$的概率已小于 1％。因此，可以认为偏差超过$3{\sigma }_x$的测量值是其他因素或过失造成的，为异常数据，应当剔除。剔除的方法是将多次测量所得的一系列数据，算出各测量值的偏差$\Delta x_i$和标准偏差${\sigma }_x$，把其中最大的$\Delta x_j$与 $3{\sigma }_x$比较，若$\Delta x_j$＞$3{\sigma }_x$ ，则认为第 j 个测量值是异常数据，舍去不计。剔除 x j 后，对余下的各测量值重新计算偏差和标准偏差，并继续审查，直到各个偏差均小于$3{\sigma }_x$为止。

三、测量结果的不确定度

1.测量不确定度的含义

     测量不确定度是与测量结果相关、表示被测量的量值分散性的参数。它反映测得值附近的一个范围，真值以一定的概率落在其中。 它是对误差的一种量化估计，是对测量结果可信赖程度的具体评定。不确定度小，标志着误差的可能值越小，测量结果可信赖程度高；不确定度大， 标志着误差的可能值越大， 测量结果可信赖程度低。用不确定度来评定实验结果，可以反映各种来源不同的误差对结果的影响，而它们的计算又反映了这些误差所服从的分布规律。所以用不确定度的概念对测量数据做出评定比用误差来描述更合理。

2.不确定度的分类

     测量结果的不确定度一般包含几个分量，按其数值的评定方法，这些分量可归入两大类，即 A 类分量（或称为 A 类评定）和 B 类分量（或称为 B 类评定）。

• A 类不确定度：多次重复测量时，可以用统计方法处理得到的那些分量。
• B 类不确定度：不能用统计方法处理，而需要用其他方法处理的那些分量。

3.测量结果不确定度估算及表示

1.用不确定度表示测量结果的准确程度

     在得到了测量值和计算出合成不确定度后，通常要写成下列形式：

$$N=N^{\prime }\pm u_c（单位）（P=0.683）\text{\hspace{1em}(4)}$$

$$E=\frac{u_c}{N^{\prime }}\times 100\%\text{\hspace{1em}(5)}$$

     上式称为测量结果表达式。其中N为真值，N’为测得值，P是置信概率。其物理意义是：真值在(N’-uC) ~ (N’+uC )范围内的置信概率是 68.3%。还可以取 $2u_c，3u_c$ 等(就是取不同概率大小的总不确 定度)，这时结果表达式可以写成$N=N^{\prime }\pm 2u_c$ ,$ N = N’±3uC$ 等。它们的物理意义就成为：真值在$(N^{\prime }-2u_c)(N^{\prime }+2u_c)$或$(N^{\prime }-3u_c)(N^{\prime }+3u_c)$范围内的置信概率为 95.4%或 99.7%。实际测量中，要准确得到概率是比较困难的，实际概率是以上理论概率的近似。

2.直接测量结果的不确定度估算

（1）单次测量

     实际测量中， 遇到不能进行（或不需要）多次测量的量， 把测量值 x1作为该物理量的值，取仪器误差限 Δ 仪作为测量的不确定度，即:

$$x=x_1\pm {\Delta }_{仪}(单位)(P=100\%)\text{\hspace{1em}(6)}$$

$$x=x_1\pm u_c=x_1\pm {\Delta }_{仪}/\sqrt{3}(单位)(P=68.3\%)\text{\hspace{1em}(7)}$$

相对不确定度：
$$E=\frac{u_c}{x_1}\times 100\%\text{\hspace{1em}(8)}$$

仪器误差一般根据生产厂家仪器说明书规定的示值误差或准确等级来确定。

（2）多次等精度直接测量的处理

    用算术平均值作为真值的最佳估算值，见式(1），不确定度为$u_c=\sqrt{u_A^2+u_B^2}$。 结
果表示为
$$x=\bar{x}\pm u_c\text{\hspace{1em}(9)}$$

$$E=\frac{u_c}{\bar{x}}\times 100\%\text{\hspace{1em}(10)}$$

3.间接测量的不确定度的计算及结果表示

（1）间接测量量的最佳值

    设 N 为某一间接测量量，$x,y,z,\dots$为 k 个直接测量量，其函数形式可表示为
$$N=f(x,y,z,...)\text{\hspace{1em}(11)}$$

（2）间接测量量的不确定度

    假定直接测量量之间彼此独立， 对式(11)全微分后有
$$dN=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz+...\text{\hspace{1em}(12)}$$

    如果先对式(12)取对数后再进行全微分，则有
$$\frac{dN}{N}=\frac{\partial \ln f}{\partial x}dx+\frac{\partial \ln f}{\partial y}dy+\frac{\partial \ln f}{\partial z}dz+...\text{\hspace{1em}(13)}$$

    上面微分式中，$dx,dy,dz,...$可视为自变量的微小变化量(增量),$dN$是由于自变量微小的变化引起函数的微小变化量(函数增量)。
    不确定度都是微小的量(与测量值相比)，与微分式中的增量相当。 只要把微分式中的增量符号$dN,dx,dy,dz,\dots$换成不确定度的符号$u,u_x,u_y,u_z,...$再采用“方和根” 合成方式后就可以得到不确定的传播公式了。如果各直接测量量的不确定度相互独立， 则用方和根合成后得到的不确定度的传播公式如下：

$$u_N=\sqrt{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^2{u_x}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^2{u_y}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}^2{u_z}^2+...}\text{\hspace{1em}(14)}$$

$$\frac{u_N}{N}=\sqrt{{\left(\frac{\partial \ln f}{\partial x}\right)}^2{u_x}^2+{\left(\frac{\partial \ln f}{\partial y}\right)}^2{u_y}^2+{\left(\frac{\partial \ln f}{\partial z}\right)}^2{u_z}^2+...}\text{\hspace{1em}(15)}$$

四、常见的数据处理方法

1.列表法

    把实验中测量的数据按一定的形式和顺序一一对应地列出来。这是在每个实验中都要用到的基本方法，它便于在实验操作中进行检查，减小和避免错误，及时发现和分析解决问题，提高处理数据的效率。为使实验数据表格设计合理，对列表提出如下要求：

• 表格的上方写明表的名称和序号，标明物理量的单位和量值的数量级(在表头栏中)。
• 列入表中的测量数据(称原始数据)要按有效数字规则记录。
• 表格外要标上测量日期、实验条件、必要的说明、有关参数。

2.作图法

    把实验数据间的关系用几何图形表示出来，形象、直观地反映数据之间的变化规律和函数关系。作图法是实验技能训练中的一项基本功。

（1）作图的程序(规则)

（a） 选择坐标纸

• 根据函数性质选取是直角坐标纸，还是对数坐标纸。
• 选择大小，依据测量数据，有效位数的多少及测量结果的需要而定。

（b）选取坐标轴

• 一般横轴代表自变量，纵轴代表因变量。标明各轴的物理量符号与单位。

（c）根据实验数据的分布范围确定坐标轴的起始点(原点)与终值， 起始点不一定从零
开始。
（d） 进行坐标的标度

• 标出整数和所用的单位。选值使坐标轴的最小格与实验数据有效数字中最末位可靠数字(测量仪器的最小分度值)相对应，保证在作图过程中不能降低实验的准确度。标度时还要注意比例是否恰当，使实验曲线充满整个图纸，不要偏向—边或一角。 比例一般为 1:1，1:2。

（e）标点

• 把实验数据点用$＋\odot \times △$等符号准确地标明在坐标纸上。同一坐标纸不同图线的数据点用不同符号以示区别。注意描点时符号的交叉点， $△$点为数据点。

（f）连线(指直线和曲线)

• 根据数据点的分布，用直尺、曲线尺等工具连成直线或光滑的曲线。连线时使数据点均匀分布在图纸两侧(具有取“平均值” 的含义)，个别离曲线很远的点，进行分析后进行取舍或重新测量。

（g）图标（注明）

• 在图纸的下边写出图名，在明显处标出实验班级、姓名、 日期等。

（2）种类

• 直线
• 曲线改直：由于直线能够精确绘制，便于求解物理量，故经常将非直线改成直线图。

（3）作图法作用

• 能够直观反映各量的相互关系。在曲线上可以省去繁杂的计算求得相应的 x,y 值，如极大、极小、转折点，用外延法，内插法直接读出没有测量的数据(实验点之间求值为内插，在曲线延长线上求值为外推)，有些特殊点难以测量，比如 x=0 或 y=0 等，用外推法求值却很方便。
• 通过图示的实验曲线关系，定量求出未知量及实验参数，常称为图解法，如伏安法测电阻，根据测量数据绘 U-I 图线是直线(线性关系)，则可在曲线上求斜率为被测电阻$R=(U2-U1)/(I2-I1)$，如果是非线性关系，也可由曲线的改直法作出直线进行计算。
• 在不知函数关系时， 根据测量数据作出图线，找出经验公式，如二极管的伏安特性曲线、电阻的温度变化曲线。
• 研究测量值的系统误差，剔除坏值。虽然作图法直观，反映测量量之间关系，求解一些参数简捷，但是精密度高的数据不便于使用。 (受到坐标纸的限制)作图法因连线等问题，影响实验结果，结果较为粗略，难以恰当地估算(直线)a,b 值的误差，因此，作图法处理数据一般不计算误差。

3.逐差法

    在实验中， 常会遇到等间隔地测量线性连续变化的物理量，求其间隔平均值的问题。一般情况下隔项逐差称为分组逐差法。广义上说，对于线性关系式$y=ax+b$，自变量为等间隔变化$(x_{i+1}-x_i=c)$，求其斜率$a$和截距$b$时，可以采用分组逐差法。具体如下：
测量得到多组对应数据$x_1,x_2,...,x_n$和$y_1,y_2,...,y_n$有
$$\begin{gathered} y_1=a{x}_1+b \\ {y}_2=a{x}_2+b，(x_2=x_1+c) \\ . \\ . \\ . \\ {y}_n=a{x}_n+b，[x_n=x_1+(n-1)c]\text{\hspace{1em}(16)} \end{gathered}$$

    设测量次数 n 为偶数，令 k＝n／2，把上式分成两组，且各组数目相同。
    1 组
$$\begin{gathered} y_1=a{x}_1+b \\ {y}_2=a{x}_2+b，(x_2=x_1+c) \\ . \\ . \\ . \\ {y}_n=a{x}_k+b，[x_k=x_1+(k-1)c]\text{\hspace{1em}(17)} \end{gathered}$$

    2 组为
$$\begin{gathered} y_{k+1}=a{x}_{k+1}+b，(x_{k+1}=x_1+kc) \\ {y}_{k+2}=a{x}_{k+2}+b，(x_{k+1}=x_1+(k+1)c) \\ . \\ . \\ . \\ {y}_{2k}=a{x}_{2k}+b，[x_{2k}=x_1+(2k-1)c]\text{\hspace{1em}(18)} \end{gathered}$$

    对应方程相减：
$$\begin{gathered} \Delta y_1=y_{k+1}-y_1=a(x_{k+1}-x_1)=a(k)c \\ \Delta y_2=y_{k+2}-y_2=a(x_{k+2}-x_2)=a(k)c \\ . \\ . \\ . \\ \Delta y_k=y_{2k}-y_k=a(x_{2k}-x_k)=a(k)c \\ a=\frac{\overline{\Delta y}}{\Delta x}=\frac{{\sum }_{i=1}^k(y_{k+i}-y_i)}{{\sum }_{i=1}^k(x_{k+i}-x_i)}=\frac{{\sum }_{i=1}^k(y_{k+i}-y_i)}{KC}\text{\hspace{1em}(19)} \end{gathered}$$

逐差法特点：

• 逐差法比作图法精确，且简单易懂，运算方便，是物理实验中常用的数据处理方法。
• 能充分利用测量数据，绕过一些未知求出所需的物理量。如上例杨氏模量实验，由于钢丝不直，外加力F后，除了钢丝的伸长量$\Delta l$，还有钢丝展直的伸展量$\Delta \ast l$，$F＝a(\Delta l+\Delta \ast l)$,而$\Delta F=a\Delta (\Delta l)$,使误差消除，测量值不受其影响。
• 验证测量量的函数关系，如果逐项逐差数值基本上为常数，说明测量量间为线性关系(二次逐差值基本为一常数， 则为二次多项式)。
• 局限性，只限于自变量等间隔变化，直线斜率是求差分平均得到，精度也受到限制。

4.最小二乘法

    最小二乘法是一系列近似计算中最为准确的一种，采用最小二乘法能从一组同精度的测量值中确定最佳值。 最佳值是各测量值的误差的平方和为最小的那个值，或能使估计曲线最好地拟合于各测量点，使该曲线到各测量点的偏差的平方和达到最小。 最小二乘法的原理和计算都比较繁琐，这里仅介绍如何应用最小二乘法进行实验曲线的拟合。已知函数关系，确定未定参量最佳值的方法。
    设已知函数的形式为：
$$y=a_0+a_{1}x\text{\hspace{1em}(20)}$$

    式中 自变量只有 x 一个，故称一元线性回归。实验得到的一组数据为
$$\begin{gathered} x=x_1,x_2,...,x_i \\ y=y_1,y_2,...,y_i\text{\hspace{1em}(21)} \end{gathered}$$

    如果实验没有误差，把$(x_1,y_1)，(x_2,y_2)，\dots ，(x_i,y_i)$代入式(20)时，方程左右两边应该相等。但实际上，测量总存在误差，我们把归结为 y 的测量偏差，并记作
$ϵ1,ϵ2,...,ϵi$，如图 1-9 所示，这样式(20)就应改写成：
$$\begin{array}{l}{y}_1-a_0-a_1{x}_1=ϵ1\\ y_2-a_0-a_1{x}_2=ϵ2\\ ...\\ y_i-a_0-a_1{x}_i=ϵi\end{array}\}i=1,2,...,n\text{\hspace{1em}(22)}$$

    根据误差理论可以推证：要满足以上要求，必须使各偏差的平方和为最小，即
$$\sum _{i=1}^n{ϵ}_i^2=\sum _{i=1}^n(y_i-a_0-a_1{x}_i{)}^2\text{\hspace{1em}(23)}$$

    为求${\sum }_{i=1}^n{ϵ}_i^2$的最小值，把式(23)对$a_0$和$x$分别求偏微商
$$\begin{gathered} \frac{\partial }{\partial a_0}\sum _{i=1}^n(y_i-a_0-a_1{x}_i{)}^2=0 \\ \frac{\partial }{\partial a_1}\sum _{i=1}^n(y_i-a_0-a_1{x}_i{)}^2=0\text{\hspace{1em}(24)} \end{gathered}$$

    即
$$\begin{array}{l}-2{\sum }_{i=1}^n(y_i-a_0-a_1{x}_i)x_i=0\\ -2{\sum }_{i=1}^n(y_i-a_0-a_1{x}_i)=0\end{array}\}\text{\hspace{1em}(25)}$$

    由式(25)，有
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-a_1\sum _{i=1}^n{x}_i^2-a_0\sum _{i=1}^n{x}_i=0 \\ \sum _{i=1}^n{y}_i-a_1\sum _{i=1}^n{x}_i-n{a}_0=0\text{\hspace{1em}(26)} \end{gathered}$$

    令：
$$\bar{x}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n},\bar{y}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{y}_i}{n},\overline{x^2}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2}{n},\overline{xy}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i}{n}\text{\hspace{1em}(27)}$$

    得：
    (1)回归直线的斜率和截距的最佳估计值
$$\begin{gathered} a_1=\frac{\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}}{{\bar{x}}^2-\overline{x^2}} \\ {a}_0=\bar{y}-a_1\bar{x}\text{\hspace{1em}(28)} \end{gathered}$$

    (2)各参量的标准误差
    y 测量值偏差的标准误差为
$${\Delta }_y=S_y=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(y_i-a_1{x}_i-a_0{)}^2}{n-k}}\text{\hspace{1em}(29)}$$

    式中 n 为测量次数， k 为未知量个数(此时 k＝2)。
    斜率 a1值的标准误差为
$${\Delta }_{a_1}=S_{a_1}=\frac{S_y}{\sqrt{{\bar{x}}^2}-\overline{x^2}}\text{\hspace{1em}(30)}$$

    截距$a_0$值的标准误差为
$${\Delta }_{a_0}=S_{a_0}=\sqrt{{\bar{x}}^2}{S}_{a_1}\text{\hspace{1em}(31)}$$

    一般可通过计算相关系数$\gamma$的方法来判断实验数据是否符合线性关系．对于一元线性回归$\gamma$定义为：
$$\gamma =\frac{\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}}{\sqrt{(\overline{x^2}-{\bar{x}}^2)(\overline{y^2}-{\bar{y}}^2)}}\text{\hspace{1em}(32)}$$

    $\gamma$值总是在 0 与±1 之间。$\gamma$值越接近 l，说明实验数据分布密集，越符合求得的直线，或说明用线性函数进行回归比较合理；相反，如果$\gamma$值远小于 1 而接近于 0，说明用线性函数回归不恰当， x 与 y 完全不相关，必须用其他函数重新试探。$\gamma$>0 回归直线的斜率为正，称为正相关。$\gamma$ <0 回归直线的斜率为负，称为负相关。

第二篇 IVS-163/167雷达数据修正

影响雷达测距精度的因素有很多，包括：

1. 调制信号并非严格意义上的锯齿波
2. VCO非线性误差
3. IQ通道相位差并不是严格的90°
4. 对中频信号做滤波放大

本文只讨论对数据修正的方法。
根据FMCW雷达测距原理，雷达与目标R之间的距离为
$$R=\frac{fTc}{2B}\text{\hspace{1em}(33)}$$

式中$f$是中频信号频率，$T$是扫频周期，$B$是调频带宽，$c=3\times 10^{8}m/s$为光速。在实际测量中，系统的周期$T$、带宽$B$是常数，只有$f$随着距离的变化而线性变化，所以式(33)可以简化为
$$R=af\text{\hspace{1em}(34)}$$

其中系数$a$=$\frac{Tc}{2B}$，但是因为其他因素的干扰，测距模型应修正为
$$R=af+d\text{\hspace{1em}(35)}$$

$d$为一常数。

在2~10m的范围内每间隔10cm测一次数，得到的一组数据为
$$\begin{gathered} f=f_1,f_2,...,f_i \\ R=R_1,R_2,...,R_i\text{\hspace{1em}(36)} \end{gathered}$$
由最小二乘法，回归直线的斜率和截距的最佳估计值
$$\begin{gathered} a=\frac{\overline{fR}-\bar{f}\bar{R}}{{\bar{f}}^2-\overline{f^2}} \\ d=\bar{R}-a_1\bar{f}\text{\hspace{1em}(37)} \end{gathered}$$

各参量的标准误差：
    R 测量值偏差的标准误差为
$${\Delta }_R=S_R=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(R_i-a{x}_i-d{)}^2}{n-k}}\text{\hspace{1em}(38)}$$

    式中 n 为测量次数， k 为未知量个数(此时 k＝2)。
    斜率$a$值的标准误差为
$${\Delta }_a=S_a=\frac{S_R}{\sqrt{{\bar{f}}^2}-\overline{f^2}}\text{\hspace{1em}(39)}$$

    截距$d$值的标准误差为
$${\Delta }_d=S_d=\sqrt{{\bar{f}}^2}{S}_a\text{\hspace{1em}(40)}$$

    相关系数$\gamma$为：
$$\gamma =\frac{\overline{fR}-\bar{f}\bar{R}}{\sqrt{(\overline{f^2}-{\bar{f}}^2)(\overline{R^2}-{\bar{R}}^2)}}\text{\hspace{1em}(41)}$$