奈奎斯特稳定性依据

采用波特图方法分析稳定性时候，默认输入为纯正弦波，把S限定在jw轴上变化，w等于极点时候，对应增益下降-3db，无法预测输入为增幅正弦波或其他情况下系统的稳定性。

柯西幅角定理：若S的封闭轨迹为顺时针，且包围了H(s)的P个pole和Z个zero，则H(S)的极坐标里的轨迹图将以同样的方向绕原点旋转Z-P圈。

 

奈奎斯特方法：   一个反馈系统的闭环传递函数如下所示：

                                                         

若闭环传递函数在右半平面或虚轴上有极点（即=0的点）系统会不稳定。

所以可以等效为求在右半平面或虚轴上有没有零点。

 

我们称右半平面和虚轴为判别区域，构造一个包含判别区域的顺时针S轨迹，由于极点和H(s)极点是一样的，在判别区域一般开环稳定的系统没有极点，所以极坐标里的轨迹图顺时针绕原点的圈数 即为判别区域零点的个数，也即判别区域闭环传递函数极点的个数

作为等效条件，一般情况分析绕（-1,0）顺时针旋转的圈数

举例：1.单极点系统闭环稳定性

 

                                 

单极点环路增益的轨迹图没有包含（-1,0）点，所以闭环系统稳定

       2.两极点系统闭环稳定性：

                                

s从0往上到jw无穷大，相移一直为负的直到-180度，幅度也变为0，从M到N点，幅度为0，相位从-180变为0，从N到jw负无穷，幅度保持为0，相位变为180度，然后相位慢慢再回到0。轨迹图也没包含（-1,0）

（在波特图上，s在jw上移动，相移始终达不到180度，不满足巴克豪森判据）

3.三极点系统闭环稳定性：

                                     

这个系统在0到M点变化中从负方向开始相移了-270度，随后幅值一直是0，直到负jw无穷，角度为+270度，然后回到原点，角度慢慢从270度减小到0，幅值也回去了。可能会包围（-1,0）点。反馈系数越大，越有可能包住这个点，稳定性越差。

4.有两个积分器的反馈系统,，

                    

为了避免使环路增益出现无穷大，选取一个围绕原点半径很小的圆来作为S在判别区域的运动轨迹。

从M点出发，相角为0，环路增益是一个很大的值，然后到N点转了-90度，到p点转了-180度，沿jw向上升后，角度不变，幅值从无穷大缩减到0，环路增益必定会在jw轴上的某个点时候对应穿过极坐标里（-1,0）点。

根据对称性，极坐标里它将穿过（-1,0）两次，所以原来闭环函数有2个极点在虚轴上（属于判别区域内），因此该系统是不稳定的

 

5.相位多次穿越180度系统：

结论：在环路增益幅值大于1的情况下，穿越180度的次数为偶数，系统稳定，穿越180度的次数为奇数，则系统不稳定。