浅谈分块算法
一直觉得分块是一个很高端的东西…一直没敢碰，现在才知道分块就是一种稍微优美一些的暴力，所以没有学过分块的同学不要害怕啦…
首先，分块是什么意思呢，顾名思义就是把要处理的东西进行分块，分成一块一块的233，举个很简单的例子，对于一个数列 size（a{ }）=5，我们可以把前2个分到一起，再两个分到一起，最后单下来一个，为什么要这样处理呢？这样处理的好处又是什么呢？
我们也可以这样思考，如果我们把一个数列，当该数列的长度为n的时候，我们以根号n为一段，分出来的段数不超过根号n，如果我们要进行区间的处理，比如加法减法等，可以对于修改区间[ L , R ]可以把其中框起来的块（一块是根号n的大小）直接打上标记，由于每一块的长度不大于根号n，所以对于两边没有框起来的部分，我们直接暴力地进行更新，这样操作次数是最多2倍根号n的，而中间的标记是O（1）处理的，这就是为什么该类算法是根号级别的原因
思路看起来很清晰吧，好像很简单的样子，那么我们马上就来试试吧
以黄学长的分块学习顺序为例
（本文的所有题目，均来自黄学长，www.hzwer.com）
我们先进行区间修改单点查询操作
#include接下来是区间修改，区间查询小于某值的数有多少个
#include
#define MAXN 1000000+10
#define MINN 5000
using namespace std;
vector<int>v[MINN];
int len,a[MAXN],b[MAXN],add[MINN];
void reset(int zone){
v[zone].clear();
for(register int i=(zone-1)*len+1;i<=zone*len;i++) v[zone].push_back(a[i]);
sort(v[zone].begin(),v[zone].end());
}
void modify(int l,int r,int ad){
for(register int i=l;i<=min(b[l]*len,r);i++) a[i]+=ad;
reset(b[l]);
if(b[l]!=b[r]){
for(register int i=(b[r]-1)*len+1;i<=r;i++) a[i]+=ad;
reset(b[r]);
}
for(register int i=b[l]+1;i<=b[r]-1;i++) add[i]+=ad;
}
int query(int l,int r,int k){
int cnt=0;
for(register int i=l;i<=min(b[l]*len,r);i++){
if(a[i]+add[b[i]]if(b[l]!=b[r]){
for(register int i=(b[r]-1)*len+1;i<=r;i++){
if(a[i]+add[b[i]]for(register int i=b[l]+1;i<=b[r]-1;i++){
int x=k-add[i];
cnt+=lower_bound(v[i].begin(),v[i].end(),x)-v[i].begin();
}
return cnt;
}
int main(){
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
len=sqrt(n);
for(register int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(register int i=1;i<=n;i++){
b[i]=(i-1)/len+1;
v[b[i]].push_back(a[i]);
}
for(register int i=1;i<=b[n];i++) sort(v[i].begin(),v[i].end());
for(register int i=1;i<=m;i++){
int temp;
scanf("%d",&temp);
if(temp==1){
int l,r,ad;
scanf("%d%d%d",&l,&r,&ad);
modify(l,r,ad);
}else{
int l,r,k;
scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
printf("%d\n",query(l,r,k));
}
}
return 0;
} 接着是第三个问题
区间修改，查区间内某个数的前驱，如果没有则返回0
这个问题和上个问题类似，只不过由于需要查前驱，vector不能做到（只能upper _ bound和lower _ bound），而vector是支持元素可重的，这样一来无法得知其前驱（因为lower _ bound是返回第一个大于他的元素的迭代器，upper _ bound是返回值第一个大于他并且在可重范围内的最后一个数），所以只需把数据结构改成set就好了，因为set是不可重集
#include
#define MAXN 100000
#define MINN 1000
using namespace std;
int len,n,m;
set<int>s[MINN];
int add[MINN];
int a[MAXN],be[MAXN];
void reset(int loc){
s[loc].clear();
for(register int i=(loc-1)*len+1;i<=loc*len;i++) s[loc].insert(a[i]);
}
void modify(int from,int to,int ad){
for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++) a[i]+=ad;
reset(be[from]);
if(be[from]!=be[to]){
for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) a[i]+=ad;
reset(be[to]);
}
for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++) add[i]+=ad;
}
int query(int from,int to,int k){
int cnt=0;
for(register int i=from;i<=min(be[from]*len,to);i++)if(a[i]if(be[from]!=be[to]){
for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) if(a[i]for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++){
int x=k-add[i];
set<int>::iterator loc=s[i].lower_bound(x);
if(loc==s[i].begin()) continue;
loc--;
cnt=max(cnt,*loc+add[i]);
}
return cnt;
}
int main(){
//freopen(".txt","r",stdin);
//freopen(".out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
len=sqrt(n);
for(register int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(register int i=1;i<=n;i++){
be[i]=(i-1)/len+1;
s[be[i]].insert(a[i]);
}
for(register int i=1;i<=m;i++){
int temp;
scanf("%d",&temp);
if(temp==1){
int l,r,ad;
scanf("%d%d%d",&l,&r,&ad);
modify(l,r,ad);
}else{
int l,r,k;
scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
printf("%d\n",query(l,r,k));//0表示没有
}
}
return 0;
}
/*
10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 1 9 9
1 1 3 2
2 1 4 5
*/ 区间加法区间求和
和前面一样，打mark就行了
#include区间开方，区间求和
我们可以考虑一个数，在保留int的情况下，只需要几次就会开方到1或者0，所以我们只需要记录一个块是否全部是0或者1就行了，因为再进行操作不会对其进行修改
#include区间乘法，区间加法和区间查询
其实这道题有一个更简单的做法，把乘法转化为加法，比如乘n可以想成加这个数的n-1倍，注意程序中mul（乘法）lazy数组和add（加法）lazy数组的转化
#include1;
for(register int i=1;i<=n;i++)be[i]=(i-1)/len+1;
for(register int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
val[be[i]]+=a[i];
}
for(register int i=1;i<=m;i++){
int temp;
scanf("%d",&temp);
if(temp==1){
int f,t,ju,num;
scanf("%d%d%d%d",&f,&t,&ju,&num);
if(ju==1){//1乘法
modifymul(f,t,num);
}else{
modifyadd(f,t,num);
}
}else{
int f,t;
cin>>f>>t;
printf("%d\n",query(f,t));
}
}
return 0;
}
/*
5 7
1 2 3 4 5
2
1 3
//6
1
1 3 1 2
// 2 4 6 4 5
2
1 3
// 12
1
1 4 2 1
// 3 5 7 5 5
2
1 4
// 20
1
1 4 1 3
// 9 15 21 15 5
2
1 5
// 65
*/ 给出一个长为n的数列，以及n个操作，操作涉及区间询问等于一个数c的元素，并将这个区间的所有元素改为c
显然我们可以边query边处理，用一个数组记录该块是否全为某一数，比如mark[1]=3表示第一个区间的所有数都为3，mark[2]=-1表示块2里的数据是乱序，没有统一
#include最后一个是求区间众数
注意其中的lower_bound和upper _bound的操作，非常的巧妙，可以算出该区间该数为多少个，程序中的二元数组则是代表第i个块到第j个块的众数
#includeint query(int from,int to,int x){
int temp=upper_bound(v[x].begin(),v[x].end(),to)-lower_bound(v[x].begin(),v[x].end(),from);
return temp;
}
int query(int from,int to){
int ans=cnt[be[from]+1][be[to]-1];
int maxn=query(from,to,ans);
for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++){
int temp=query(from,to,a[i]);
if(temp>maxn||(temp==maxn&&val[a[i]]if(be[from]!=be[to]){
for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++){
int temp=query(from,to,a[i]);
if(temp>maxn||(temp==maxn&&val[a[i]]return ans;
}
int main(){
//freopen("txt.txt","r",stdin);
scanf("%d%d",&n,&mm);
len=sqrt(n);
int ans=0;
for(register int i=1;i<=n;i++) be[i]=(i-1)/len+1;
for(register int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
if(!m[a[i]]){
m[a[i]]=++ccnt;
val[ccnt]=a[i];//注意这里的离散化并不是需要排序,而只是给每一个数一个编号
}
a[i]=m[a[i]];//给数列的每个数一个编号
v[a[i]].push_back(i);//该编号的数的位置加入一个i
}
for(register int i=1;i<=be[n];i++) pre(i);//对每个块进行pre操作
for(register int i=1;i<=mm;i++){
int aa,bb;
scanf("%d%d",&aa,&bb);
aa=(aa+ans-1)%n+1;bb=(bb+ans-1)%n+1;
if(aa>bb)swap(aa,bb);
ans=val[query(aa,bb)];
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
/*
20 3
1 0 25 14 34 1 25 25 48 8 4 4 9 8 2 2 3 3 3 10
1 20
10 16
4 8
*/