树的直径和重心

重中之重（别忘了我（蒟蒻）名字的翻译）

最基础的树的直径和重心

我是分割线---------------------------------------------------------------------------------------------------------

树的直径

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树的直径(Diameter)是指树上的最长简单路没错不是它有多宽（e.g.）。
直径的求法：两遍搜索 (BFS or DFS)。
过程：任选一点w为起点，对树进行搜索，找出离w最远的点u。以u为起点，再进行搜索，找出离u最远的点v。则u到v的路径长度即为树的直径。

简单证明：

如果w在直径上，那么u一定是直径的一个端点。反证：若u不是端点，则从直径一端点到w再到u的距离比直径更长，与假设矛盾。

如果w不在直径上，且w到其距最远点u的路径与直径一定有一交点c，那么由上一个证明可知，u是直径的一个端点。

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上方证明的过程

如果w到最远点u的路径与直径没有交点，设直径的两端为S与T。

wu为w引出的最长路：

wu>wc+ct

st为直径（即st应最长）But:

sc+cw+wu>sc+cw+wc+ct

而：

sc+ct=st（最长路？？）

so su比直径还长吗？

so u一定在直径上。

因此w到最远点u的路径与直径必有交点。

 S-----------c-----------T

             |

             |

            w------u

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简单水 题

示例代码

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树的重心

算法流程

首先，利用前向星存边建立边表。由于无向，所以要连两次边。我们用一次 dfs() 建立以1为根节点时每个结点所在子树的结点数。

接下来考虑把这个点删掉的结果，如果一个非根结点有 p 个儿子，那么删掉这个点之后会有 p+1 个连通分量，因为这个结点不是根节点，那么除了这个结点及它的所有子树外还有一个连通分量，我们将之称为这个结点的上方子树。接下来，计算这些子树（包括上方子树）的 size （指以当前节点为父亲或祖宗的节点数总和）再从中找个最大值，因为总共有 n 个结点所以有 n 个最大值，接下来在其中挑一个最小的即可，当这个值取到最小时的那个结点就是这棵树的重心。

size 的计算方法：

结点 u 的子树，直接利用 size 即可。

结点 u 的上方子树，可以利用求补集的思想，总共有 n 个结点，这个结点及其所有子树的结点和为 size(u)， 那么它的上方子树的 size 就是 n−size(u) 。
附图一张（看不懂看图自己摸拟）：

代码

重心进阶（自带例题和代码）