贪心法求解背包问题

问题描述

设有编号为1、2、…、n的n个物品，它们的重量分别为w1、w2、…、wn，价值分别为v1、v2、…、vn，其中wi、vi（1≤i≤n）均为正数。
有一个背包可以携带的最大重量不超过W。求解目标：在不超过背包负重的前提下，使背包装入的总价值最大（即效益最大化），与0/1背包问题的区别是，这里的每个物品可以取一部分装入背包。

问题求解

这里采用贪心法求解。设xi表示物品i装入背包的情况，0≤xi≤1。根据问题的要求，有如下约束条件和目标函数：

于是问题归结为寻找一个满足上述约束条件，并使目标函数达到最大的解向量X={x1，x2，…，xn}。
贪心策略：选择单位重量价值最大的物品。
每次从物品集合中选择单位重量价值最大的物品，如果其重量小于背包容量，就可以把它装入，并将背包容量减去该物品的重量，然后就面临了一个最优子问题——它同样是背包问题，只不过背包容量减少了，物品集合减少了。
因此背包问题具有最优子结构性质。

代码

int n = 5;
double W = 100;
struct NodeType
{
     
	double w;
	double v;
	double p;
	bool operator<(const NodeType &s)const
	{
     
		return p > s.p;
	}
};

NodeType A[] = {
      {
     0},{
     10,20},{
     20,30},{
     30,66},{
     40,40},{
     50,60} };
double V;
double x[MAXN];

void Knap()
{
     
	V = 0;
	double weight = W;
	memset(x, 0, sizeof(x));
	int i = 1;

	while (A[i].w < weight)//物品可以全部装入
	{
     
		x[i] = 1;
		weight -= A[i].w;
		V += A[i].v;
		i++;
	}

	if (weight > 0)//余下物品重量大于0
	{
     
		x[i] = weight / A[i].w;
		V += x[i] * A[i].v;
	}
}

算法证明

假设对于n个物品，按vi/wi（1≤i≤n）值递减排序得到1、2、…、n的序列，即v1/w1 ≥ v2/w2 ≥ … ≥ vn/wn。设X={x1，x2，…，xn}是本算法找到解。
如果所有的xi都等于1，这个解明显是最优解。否则，设minj是满足xminj<1的最小下标。考虑算法的工作方式，很明显，当iminj时，xi=0，并且。设X的价值为V(X)=。

当i 当i>minj时，xi=0，所以xi-yi≤0，且vi/wi≤vminj/wminj。
当i=minj时，vi/wi=vminj/wminj。

这样与Y是最优解的假设矛盾，也就是说没有哪个可行解的价值会大于V(X)，因此解X是最优解。

算法分析

排序的时间复杂性为O(nlog2n)，while循环的时间为O(n)，所以本算法的时间复杂度为O(nlog2n)。