求出最大连续子序列和 暴力算法、分治法、动态规划、贪心算法实现;Leecode 51.最大子序和

求出最大连续子序列和

【问题描述】
给定一个整数数组 a[ ] ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

这个问题也可转入Leecode 51.最大子序和
来源：力扣（LeetCode）

示例:
输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

以下用四种方法实现

①蛮力法（即暴力算法）实现：

代码实现：

int maxSubSum1(int a[],int n){
     
	int i,j,k;
	int maxSum=0,thisSum;
	for(i=0;i<n;i++){
     
		for(j=i;j<n;j++){
     
			thisSum=0;
			for(k=i;k<=j;k++)
			thisSum+=a[k];
			if(thisSum>maxSum)
			maxSum=thisSum;
		}
	}
	return maxSum;
}

算法复杂度T(n)=O(n^3)

解法2：
改进前面的解法，在求两个相邻子序列和的时候，它们之间是关联的。
例如a[0…3]子序列和=a[0]+a[1]+a[2]+a[3],a[0…4]子序列和=a[0]+a[1]+a[2]+a[3]+a[4]
在前者计算出来后，求后者时只需在前者的基础上加上a[4]即可，没有必须每次都重复计算。
从而提高算法效率。

代码实现：

int maxSbuSum2(int a[],int n) {
     
	int i,j;
	int maxSum=0,thisSum;
	for(i=0;i<n;i++){
     
		thisSum=0;
		for(j=i;i<n;j++){
     
			thisSum+=a[i];
			if(thisSum>maxSum)
			maxSum=thisSum;
		}
	}
	return maxSum;
}

时间复杂度T(n)=O(n^2)

解法3：更进一步改进解法2
如果扫描中遇到了负数，当前子序列和thisSum将会减小，若thisSum为负数，表明
前面已经扫描的那个子序列可以抛弃了，则放弃这个子序列，重新开始下一个子序
列的分析，并置thisSum为0
若这个子序列和thisSum不断增加，那么最大子序列和maxSumy也不断增加。

int maxSubSum(int a[],int n){
     
	int j,maxSum=0,thisSum=0;
	for(j=0;j<n;j++){
     
		thisSum+=a[j];
		if(thisSum<0)
		thisSum=0;
		if(maxSum<thisSum)
		maxSum=thisSum;
	}
	return maxSum;
}

②分治算法实现
【问题求解】
对于含有n个整数的序列a[0…n-1]，若n=1，表示该序列只含有1个元素，如果该元素大于0，则反汇该元素，否则返回0.

若n>1，采用分治法求解最大连续子序列时取其中中间位置mid=(n-1)/2向下取整，该子序列只可能出现在3个地方如下图所示

（1）该子序列完全在左半部分即a[0…mid]中采用递归求其最大连续子序列和maxLeftSum.

（2）该子序列完全落在右半部分，即a[mid+1…n-1]中，采用递归求出其最大连续子序列和maxRightSum

(3)该子序列跨越序列a的中部而占据左、右两部分。

代码实现：

#include
int n=6;
int a[]={
     0,-2,11,-4,13,-5,-2}; 
int max(long a,long b,long c){
       //求出a,b,c三者中的最大值 
	if(a<b) a=b;
	if(a>c) return a;
	else return c;
}
int maxSubArray(int left,int right)
{
     
        int i,j;
		int maxLeftSum,maxRightSum;
	    int maxLeftBorderSum,leftBorderSum;
		int maxRightBorderSum,rightBorderSum;
		if(left==right){
       //当子序列只有一个元素时 
			if(a[left]>0)  //元素大于0的时候返回它 
			return a[left];
			else return 0;  //小于或等于0的时候返回0 
		}
		int mid=(left+right)/2;
		maxLeftSum=maxSubArray(left,mid);  //求左边的最大连续子序列的和 
		maxRightSum=maxSubArray(mid+1,right);  //求右边的最大连续子序列之和 
		maxLeftBorderSum=0,leftBorderSum=0;
		for(i=mid;i>=left;i--){
       //求出以左边加上a[mid]元素构成的序列的最大和 
			leftBorderSum+=a[i];
			if(leftBorderSum>maxLeftBorderSum)
			maxLeftBorderSum=leftBorderSum;
		}
		maxRightBorderSum=0,rightBorderSum=0;
		for(j=mid+1;j<=right;j++){
       //求出a[mid]右边元素构成的序列的最大和
			rightBorderSum+=a[j];
			if(rightBorderSum>maxRightBorderSum)
			maxRightBorderSum=rightBorderSum;
		}
		return max(maxLeftSum,maxRightSum,maxLeftBorderSum+maxRightBorderSum);
}
int main(){
     
	printf("%d",maxSubArray(0,n));
	return 0;
}

③动态规划算法实现：
dp[i]表示数组a中以a[i]结尾的最大子序列和
状态转移方程如下
dp[0]=0 （边界条件）
dp[i]=max{dp[i-1]+ai,ai} (1<=i<=n)
即dp[i]要么是当前数字要不然是与前面的最大子序和的和。

代码实现：

#include
#include
using namespace std;
int dp[100];
int n=6;
int a[]={
     0,-2,11,-4,13,-5,-2}; 
int Maxsum()  //求解算法
{
     
	int result=INT_MIN;
	dp[0]=0;
	result=dp[0];
	for(int j=1;j<=n;j++){
     
	dp[j]=max(dp[j-1]+a[j],a[j]);
	result=max(result,dp[j]);
	}
	return result;
 } 
 int main(){
     
	cout<<Maxsum()<<endl;
	return 0;
 }

④贪心算法实现：
对素组从左向右迭代，一个个数字加过去，如果sum<0,重新开始找子序列。

代码实现：

#include
#include
using namespace std;
int n=6;
int a[]={
     0,-2,11,-4,13,-5,-2}; 
int maxSubArray()
    {
     
        //因为int占4字节32位，根据二进制编码的规则，INT_MAX = 2^31-1，INT_MIN= -2^31.
		//C/C++中，所有超过该限值的数，都会出现溢出，出现warning，但是并不会出现error
		//INT_MAX = 2^31 - 1 =2147483647，INT_MIN= - 2^31 = -2147483648
        int result = INT_MIN;
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i <=n; i++)
        {
     
            sum += a[i];
            result = max(result, sum);
            //如果sum < 0，重新开始找序列 
            if (sum < 0)
            {
     
                sum = 0;
            }
        }
        return result;
    }
int main(){
     
	cout<<maxSubArray()<<endl;
	return 0;
}