主项定理Master Method ——算法复习笔记

在分析根据递归方程分析算法的时间复杂度时,常见到如下形式的方程,
T(n) = a * T(n/b) + f(n)
a ³ 1,b > 1,f(n)一般是个简单函数

这时可以有2种方法,来计算时间复杂度。一是用递归树,逐层代入原式,最终形成一个级数,
然后用一个函数来表达,得到T(n)。

二是应用主项定理Master Method 。其实,主项定理也就是对递归树方法的一种归纳,形成了
固定的计算方式,并分三种情形来计算。

这三种情形主要是比较 nlogba 与 f(n),为什么要比较这两个函数呢?

观察原式,可以看出,nlogba其实相当于用递归树方法解出的递归方程的右侧的第一项,
而f(n)则是递归方程的右侧的第二项,这样,主项定理实际上是在比较组成结果的两个函数项,
而且这种比较是按照数量级(或者说是变化幅度)来比较的,也就是说,如2n 与 28n是
数量级(变化幅度)相当的。

这样就有了三种不同的情形:

  1. f(n) < nlogba                

    也就是 f(n) = O(nlogba - e ) ,e > 0为任意小的常数
    或者说,f(n) 比 nlogba变化的慢,慢ne
    那么,T(n) Î Q (nlogba)

  2. f(n) > nlogba          

    也就是 f(n) = W(nlogba +e ) ,e > 0为任意小的常数
    或者说,f(n) 比 nlogba变化的快,快ne
    那么, T(n) Î Q(f(n))

    可以简单地说,递归方程的右侧的两项,哪项变化的块,T(n)就属于哪项的数量级

  3. f(n) = nlogba

    也就是两项的数量级相当,就给这个数量级乘上一个lg n

    T(n) Î Q(nlogba * lg n)

 


Examples(以下示例来源于网络):

  1. T(n) = 5T(n/2) + Q(n2)

    Case 1: If f(n) = O(nlogba - e ) for some constant e > 0 then T(n) Î Q(nlogba)

    Determine: a, b, f(n) and logba

    • a = 5

    • b = 2

    • f(n) = Q(n2)

    • logb a = log2 5 ≈ 2.32

    Is f(n) Î O(nlg 5 - e) for e > 0 ?

    Yes. f(n) = Q(n2) Î O(nlg 5 - e) = O(n2.32 - e) for e ≈ 0.32

    T(n) Î Q(nlog25)


2. T(n) = 2T(n/2) + n

Determine: a, b, f(n) and logb(a)

  • a = 2

  • b = 2

  • f(n) = n

  • logb a = log2 2 = lg 2 = 1

Case 3: If f(n) = Q(nlogba ) then T(n) Î Q(nlogba lg n)

f(n) = n Î Q(nlog22) = Q(n1)

T(n) Î Q(nlog22 lg n) = Q(n lg n)


3. T(n) = 5T(n/2) + Q(n3)

Determine: a, b, f(n) and logb(a)

  • a = 5

  • b = 2

  • f(n) = Q(n3)

  • logb a = log2 5 ≈ 2.32

Case 2: If f(n) = W(nlogba+e ) for some constant e > 0

f(n) = Q(n3) Î W(nlog25+e ) = W(n2.32+e ) for e ≈0.68

and af(n/b) ≤ cf(n) for some constant c < 1 and all sufficiently large n

5(n/2)3≤ cn3

5n3/8 ≤ cn3

c = 5/8 < 1

then T(n) Î Q(n3)

 

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