算法考试复习

目录

一、简答题 * 30’

记号O、Ω、θ的意义

分治法的基本步骤

动态规划算法的两个基本要素

设计动态规划算法的步骤

分治法和动态规划算法的异同点

贪心法的两个基本要素

贪心法的算法正确性证明的基本策略

贪心算法与动态规划的异同点

在对图的深度优先搜索过程中，可将顶点的状态区分为哪三种，将有向图中的边分为那四种类型？

如果有向带权图中存在边的权值为负的情形，如何判断图中是否存在负环

最大流、最小割的概念

最大流最小割定理及其证明

带需求和下界的流通问题

多项式规约(reduction)的概念和用途

P问题、NP问题、NPC问题、NPH问题的概念

NP完全问题的实际证明方法

常见的NP完全问题

Hill_climbing和best_first等搜索算法的基本思想

二、应用题 * 40’

多段图上的最短路径动态规划推到

图的深度优先搜索算法的扩展和应用

强连通分量的划分算法

图的传递闭包算法Warshall的基本思想和过程

Bellman_Ford算法的基本思想和过程

最大流最小割问题的求解算法Ford_Fulkerson（增广路径算法）

最大流最小算法的应用，如二部图匹配、边不交路径问题、项目选择问题

递归方程的求解

三、算法设计题 * 30’

分治法：统计逆序对、中位数查找、主元素查找

贪心法：Dijkstra算法、区间调度问题、区间划分问题

动态规划问题：最长递增子序列、编辑距离问题、矩阵连乘问题、背包问题、树的最小独立集等

图算法：深度优先搜索、最短路径问题等

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记号O、Ω、θ的意义

• O：时间复杂度函数的上界

• Ω：时间复杂度函数的下界

• θ：时间复杂度函数的精确且紧致的界

分治法的基本步骤

• 将原问题划分成相同类型的子问题
• 递归地求解子问题
• 合并递归解

动态规划算法的两个基本要素

• 最优子结构：最优解包含了其子问题的最优解
• 重叠子问题

设计动态规划算法的步骤

• 寻找最优子结构
• 建立DP方程
• 求解DP方程
• 回溯最优解

分治法和动态规划算法的异同点

• 同：都要求原问题具有最优子结构，即可以分而治之
• 异：
  1. 分治法利用递归求解；动态规划多用迭代法
  2. 分治法的子问题是相互独立的；动态规划的子问题是有重叠的

贪心法的两个基本要素

• 局部最优解(贪心选择性质)
• 最优子结构

贪心法的算法正确性证明的基本策略

• 证明在每次决策阶段，使用贪心法所作出的选择，都不差于其他可能的选择，即至少同任何其他可能的选择一样好
• 通过贪心选择替换方法证明
  1. 假设原问题存在一个最优解，且该最优解不同于贪心法所得的解
  2. 给出该最优解与贪心解的一个不同之处
  3. 证明我们可以将该最优解的一次最有选择替换成贪心选择，而不会降低解的质量
• 对于原问题的所有解，给出一个其必须满足的界限，然后证明使用贪心法所得到的解总是可以到达该界限
• 数学归纳法（induction）
• 反证法（contradiction）

贪心算法与动态规划的异同点

• 同：都用来求最优化决策问题
• 异：贪心法寻找当前最优解，是自顶向下的；动态规划寻找全局最优解，多为自底向上

在对图的深度优先搜索过程中，可将顶点的状态区分为哪三种，将有向图中的边分为那四种类型？

1. 顶点状态
   • white：未访问
   • gray: 已访问，但其子孙还没被访问完
   • black：已访问完，且子孙也被访问完
2. 有向图中的边
   • tree edge：树边 （u,v), v是未被访问的顶点
   • back edge：反向边、回边 (u,v), v是u的祖先，且v是被访问过的
   • forward edge：前向边 (u,v), u是v的祖先，且v是被访问过的
   • cross edge：横向边、交叉边 不是以上三种边的其他的统称
     

如果有向带权图中存在边的权值为负的情形，如何判断图中是否存在负环

一个完整Bellman_Ford算法找出单源最短路径，再将所有边update一遍，看dist[]有没有变小。若dist[]变小，则存在负环。

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Bellman_Ford: shortest_path(G,l,s) for all u in V dist[u]=INF dist[s]=0 repeat |v|-1 times: for all e in E update(e)

process  update( edge(u,v) )
    if dist[v] > dist[u]+l(u,v)
        dist[v] = dist[u]+l(u,v)

最大流、最小割的概念

最大流最小割定理及其证明

带需求和下界的流通问题

多项式规约(reduction)的概念和用途

1. 概念

给定两个问题A、B，我们称问题A可多项式规约成问题B，当其满足以下条件：

存在一个函数f，f可在多项式时间内将问题A的输入转化成问题B的输入

A(x)=Yes 等价于 B(f(x))=Yes
记作A \< B,解决问题B至少同解决问题A一样困难

1. 用途：
   • 确定问题的多项式时间可解性
   • 确定问题的难解性
   • 确定问题的同等困难性

P问题、NP问题、NPC问题、NPH问题的概念

1. P问题：能在多项式时间内解决的决策问题。 如图搜索、最短路径、最小生成树

2. NP问题：多项式时间内能验证的问题。如汉密尔顿问题、Hamilton回路

3. NPC问题（NP完全问题）：目前不能用多项式时间解决的问题，但是还不能证明这个问题不能在多项式时间内解决。

4. NPH问题（NP困难问题）：满足NP的第二条，但不一定满足第一条

NP完全问题的实际证明方法

• 证明A属于NP问题
• 选取已知的NPC问题，证明此问题可在多项式时间内 转换成问题A

常见的NP完全问题

• 团问题：关于寻找图中规模最大的团的最优化问题
• 最大独立集问题
• 顶点覆盖问题：在一个给定图中，找出具有最小规模的顶点覆盖
• 哈密顿回路问题
• 旅行商问题

Hill_climbing和best_first等搜索算法的基本思想

• Hill_climbing爬山算法

爬山算法是启发式搜索的一种，意图避免遍历全部元素。像爬山一样，想要到最高峰，就先登眼前的最高小山峰。采用了类似贪心的局部择优策略。

- Best\_First搜索算法

最佳优先算法在深度优先的基础上增加了估价函数。Best_First Search = DFS + BFS

Best_First Search算法描述：
1. N表示已排序的结点表（有小到大
2. 若N空，则结束。（初始时，N中只有根结点）
3. 取N的首元素n，并在N中删除n。若n为目标元素，则停止；否则，转到步骤4
4. 将n的后继结点加入N中，记作N'，对N'排序，转到步骤1


- BFS(广度优先搜索)

算法描述：
    1. 根节点入**队列**Q
    2. 队首元素是否为目标元素，若是，停止；否则，转到步骤3
    3. 队首元素出队列，将其后继结点入队列
    4. 若Q空，结束；否则，转到步骤2

BFS伪代码:

BFS(G,s)
    for all u in V
        dist[u] = INF
    dist(s) = 0
    Q = [s] // queue containing just s
    while Q is not empty
        u = DeQueue(Q)
        for all edges(u,v) in E
            if  dist(v) = INF
                EnQueue(Q,v)
                dist(v) = dist(u) + 1


- DFS(深度优先搜索)
算法描述
    1. 根节点入**栈**S
    2. 栈顶元素是否为目标元素，若是，停止；否则，转到步骤3
    3. 栈顶元素出队列，将其后继结点入栈
    4. 若S空，结束；否则，转到步骤2
DFS伪代码:
DFS(s)
    for each u in V
        color[u] = white
    clock = 1
    for each u in V
        if color[u] = white
        then explore(G,u)

explore(G,u)
    color[u] = gray
    pre[u] = clock
    clock = clock + 1
    for each (u,v) in E
        if color[v] = white
        then explore(G,v)
    color[u] = black
    post[u] = clock
    clock = clock + 1

应用题 * 40’

多段图上的最短路径动态规划推到

图的深度优先搜索算法的扩展和应用

强连通分量的划分算法

图的传递闭包算法Warshall的基本思想和过程

Bellman_Ford算法的基本思想和过程

最大流最小割问题的求解算法Ford_Fulkerson（增广路径算法）

最大流最小算法的应用，如二部图匹配、边不交路径问题、项目选择问题

递归方程的求解

算法设计题 * 30’

分治法：统计逆序对、中位数查找、主元素查找

• 统计逆序对

• 中位数查找

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  Find_kth(A,low,high,kth) if low == high return A[low] q = random_patition(A,low,high) k = p - low + 1 if kth == k return A[q] else if kth < k return Find_kth(A,low,q-1,kth) else return Find_kth(A,q+1,high,kth-i)

• 主元素查找

贪心法：Dijkstra算法、区间调度问题、区间划分问题

• Dijkstra算法

• 区间调度（递归)

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  贪心选择：最早结束 Recursive_Interval_Scheduling(s,f,i,j) m = i + 1 while m < j and Sm < fi m = m + 1 if m < j return {am} 并 Recursive_Interval_Scheduling(s,f,m,j) else return 0

• 区间调度（迭代)

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  Greedy_Interval_Scheduling(s,f) n = length[s] A={1} i=1 for m=2 to n if Sm > fi A = A 并 {am} i = m return A

动态规划问题：最长递增子序列、编辑距离问题、矩阵连乘问题、背包问题、树的最小独立集等

• 最长递增子序列

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  设L(i)表示以i为结点的最长递增子序列的长度，L(0)=1 for k=0 to i-1 if a[k] < a[i]: L(i)=max(L[k]+1); if all a[k] > a[i]: L[i]=1;

• 矩阵连乘

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  for i=0 to n-1 m(i,j)=0; for len=1 to n-1 for i =1 to n-len j=i+len m(i,j)=INFINITY for k=i to j-1 q=m(i,k)+m(k+1,j)+P[i-1]*P[k]*P[j]; if q < m(i,j) then m(i,j)=q return (1,n);

• 编辑距离

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  EdieDistance(A[1...m],B[1...n]) //base case for i = 0 to m E(i,0) = i for j= 1 to n E(0,j) = j //填充表格 for i = 1 to m for j=1 to n E(i,j) = min{1+E(i-1,j),1+E(i,j-1),1+E(i-1,j-1)} return E(m,n)

• 背包问题

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  0-1 Knapsack Algorithm for w = 0 to W B[0,w] = 0 for i =0 to n B[i,0] = 0 for w = 0 to W if wi <= w if vi+B[i-1,wi] > B[i-1,w] B[i,w] = vi + B[i-1,w-wi] else B[i,w] = B[i-1,w] else B[i,w]=B[i-1,w]

图算法：深度优先搜索、最短路径问题等