常考的经典算法--最长公共子序列（LCS）与最长公共子串(DP)

《1》最长公共子序列（LCS）与最长公共子串(DP)

http://blog.csdn.net/u012102306/article/details/53184446

https://segmentfault.com/a/1190000007963594

http://www.cppblog.com/mysileng/archive/2013/05/14/200265.html

1. 问题描述

子串应该比较好理解，至于什么是子序列，这里给出一个例子：有两个母串

• cnblogs
• belong

比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS ），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列，要求在母串中连续地出现。在上述例子的中，最长公共子序列为blog（cn blog s, b e lo n g ），最长公共子串为lo（cnb lo gs, be lo ng）。

2. 求解算法

对于母串X=, Y=，求LCS与最长公共子串。
暴力解法
假设 m动态规划
假设Z=是X与Y的LCS， 我们观察到
如果Xm=Yn，则Zk=Xm=Yn，有Zk−1是Xm−1与Yn−1的LCS；
如果Xm≠Yn，则Zk是Xm与Yn−1的LCS，或者是Xm−1与Yn的LCS。
因此，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是，上述的递归求解的办法中，重复的子问题多，效率低下。改进的办法——用空间换时间，用数组保存中间状态，方便后面的计算。这就是动态规划（DP)的核心思想了。
DP求解LCS
用二维数组c[i][j]记录串x1x2⋯xi与y1y2⋯yj的LCS长度，则可得到状态转移方程

  由最长公共子序列问题的最优子结构性质可知，要找出X=₁, x₂, …, x_m>和Y=₁, y₂, …, y_n>的最长公共子序列，可按以下方式递归地进行：当x_m=y_n时，找出X_m-1和Y_n-1的最长公共子序列，然后在其尾部加上x_m(=y_n)即可得X和Y的一个最长公共子序列。当x_m≠y_n时，必须解两个子问题，即找出X_m-1和Y的一个最长公共子序列及X和Y_n-1的一个最长公共子序列。这两个公共子序列中较长者即为X和Y的一个最长公共子序列。

在算法LCS中，每一次的递归调用使i或j减1，因此算法的计算时间为O(m+n)。

例如，设所给的两个序列为X=和Y=。由算法LCS_LENGTH和LCS计算出的结果如下图所示：

代码实现

 public static int lcs(String str1, String str2) {
     int len1 = str1.length();
     int len2 = str2.length();
     int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
     for (int i = 0; i <= len1; i++) {
         for( int j = 0; j <= len2; j++) {
             if(i == 0 || j == 0) {
                 c[i][j] = 0;
             } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
                 c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
             } else {
                 c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);
             }
         }
     }
     return c[len1][len2];
 }

DP求解最长公共子串

前面提到了子串是一种特殊的子序列，因此同样可以用DP来解决。定义数组的存储含义对于后面推导转移方程显得尤为重要，糟糕的数组定义会导致异常繁杂的转移方程。考虑到子串的连续性，将二维数组c[i][j]用来记录具有这样特点的子串——结尾同时也为为串x1x2⋯xi与y1y2⋯yj的结尾——的长度。
得到转移方程：

最长公共子串的长度为 max(c[i,j]), i∈{1,⋯,m},j∈{1,⋯,n}。
代码实现

 public static int lcs(String str1, String str2) {
     int len1 = str1.length();
     int len2 = str2.length();
     int result = 0;     //记录最长公共子串长度
     int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
     for (int i = 0; i <= len1; i++) {
         for( int j = 0; j <= len2; j++) {
             if(i == 0 || j == 0) {
                 c[i][j] = 0;
             } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
                 c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                 result = max(c[i][j], result);
             } else {
                 c[i][j] = 0;
             }
         }
     }
     return result;
 }

3. 参考资料
[1] cs2035, Longest Common Subsequence.
[2] 一线码农, 经典算法题每日演练——第四题 最长公共子序列.

[3] GeeksforGeeks, Dynamic Programming | Set 29 (Longest Common Substring).