《小超教你写论文》系列第二篇-公式推导

在《小超教你写论文》系列第一篇，我们对中科院自动化所的文章《RobustMulti-Resolution Pedestrian Detection in Traffic Scenes》进行了翻译。但想要写出自己的论文，仅翻译别人的文章是不够的，还要理解它。这是系列的第二篇，将对文章中的公式进行解释和推导。

公式（1）：

               （1）

这是DPM模型的评分公式，前一部分表示具体特征的匹配得分，后一部分表示空间位置的得分。不太清楚的可以参考massikkk的点击打开链接。

公式（2）：

            （2）

这个公式中最重要的是和，它们就是本文的创新点，即分辨率敏感变换（Resolution Aware Transformation），通过它们，将不同分辨率下的特征投影到同一子空间中，进而使HOG特征，即公式中的变得分辨率不变（Resolution Invariant）。

公式（3）：

 （3）

这是DPM中的目标函数，也是优化的标准。在DPM中，是一个重要参数，在massikkk翻译的点击打开链接文章中，Felzenszwalb大神通过迭代计算出部件位置和。

公式（4）：

     （4）

这里也是作者的创新之一，由于作者将对象分为共分辨率和低分辨率两种，且分辨率敏感变换（Resolution Aware Transformation）参数和又未知，故在目标函数中，应该包含这两项。于是作者将目标函数分为三个部分，其中后两部分分辨用于处理两种分辨率，且作者还提到，如果有更多的分辨率类型，直接在公式中添加即可。（ps：这样处理是可以，但你直接将两者相加作为目标函数真的合适吗？一会我们会看到作者在优化时是分开优化的，可是你分开优化却一起评分真的准确吗？当然，很有可能是我没弄明白，毕竟人家是能发CVPR的大牛，而我却是一篇EI都没有的小菜）

公式（5）：

（5）

这个公式是对公式（4）的补充，公式（4）中的后两项即为这个形式。

公式（6）：

  （6）

这个公式是公式（4）的变形，也是非常重要的公式。因为通过这个公式，作者确定了参数。通过公式（6）和massik翻译文章的对比，我们发现公式（6）的确是Latent-SVM形式，可以用Latent-SVM solver来解决。但如何从公式（4）推导出公式（6）呢？

要完成推导过程，我们需要点研究生课程《数值分析》和《矩阵理论》的知识。我们需要知道什么是Frobenius（佛罗贝尼乌斯）范数，及它的一些性质，还有迹（trace）的一些性质。下面给出一个简单推导。

；

同理，

；

而

   故，

对于公式（6）的第二部分，也简单推理一下。

 

这样，公式（4）就可以转化为公式（6）的形式。

公式（7）：

    （7）

这个公式也是文章中非常重要的公式，因为从这个公式中，作者确定了重要参数，并用相似的公式同样的方法，确定了。我们先推导下公式。

；

再根据公式（6）的推导过程，可知；

再来看看公式（7）的第二项：

由于，

故；

作者在文章中说如上就可以从公式（4）推导到公式（7）。但我们发现，公式（7）并非与公式（4）相同，而是与公式（5）相同，而公式（5）只是公式（4）的高分辨率部分。作者分别在高分辨率和低分辨率的情况下优化出使式子最小的和。由于作者分别在高分辨率和低分辨率两个样本集中分别优化，且作者也提到了和是独立的，所以这样优化没有问题。但问题是，作者分别在两个样本集上训练的和能用来描述所有分辨率的行人吗？作者实验证明这种方法是可用的，的确两个变换都是各自的最优解，合起来使用的确比一般方法更具普适性，但我觉得分别训练出的最优参数合起来使用，对整体来说未必是最优参数。我觉得用混合样本训练出的整体最优可能更好一些。

后面还有公式（8），（9），（10），（11），（12），用来说明作者提出的行人-车辆模型，其中没有特别创新的地方，且只是在此样本集上有一定的实用意义，通用性并不强，所以就不再进行解释了。

写到这里，《小超教你写论文》系列第二篇就结束了。本来系列第三篇准备写这些公式的具体代码实现的，但刚刚觉得在实现之前应该先熟悉一下数据库的使用方法。所以系列的第三篇应该会写Caltech Pedestrian Benchmark的使用方法，可能的话，用一些以前的方法先做些实验。