树状数组模板

树状数组详解：

http://blog.csdn.net/int64ago/article/details/7429868

一、树状数组是干什么的？

       平常我们会遇到一些对数组进行维护查询的操作，比较常见的如，修改某点的值、求某个区间的和，而这两种恰恰是树状数组的强项！当然，数据规模不大的时候，对于修改某点的值是非常容易的，复杂度是O(1)，但是对于求一个区间的和就要扫一遍了，复杂度是O(N)，如果实时的对数组进行M次修改或求和，最坏的情况下复杂度是O(M*N)，当规模增大后这是划不来的！而树状数组干同样的事复杂度却是O(M*lgN)，别小看这个lg，很大的数一lg就很小了，这个学过数学的都知道吧，不需要我说了。申明一下，看下面的文章一定不要急，只需要看懂每一步最后自然就懂了。

二、树状数组怎么干的？

        先看两幅图（网上找的，如果雷同，不要大惊小怪～），下面的说明都是基于这两幅图的，左边的叫A图吧，右边的叫B图：

      是不是很像一颗树？对，这就是为什么叫树状数组了～先看A图，a数组就是我们要维护和查询的数组，但是其实我们整个过程中根本用不到a数组，你可以把它当作一个摆设！c数组才是我们全程关心和操纵的重心。先由图来看看c数组的规则，其中c8 = c4+c6+c7+a8，c6 = c5+a6……先不必纠结怎么做到的，我们只要知道c数组的大致规则即可，很容易知道c8表示a1～a8的和，但是c6却是表示a5～a6的和，为什么会产生这样的区别的呢？或者说发明她的人为什么这样区别对待呢？答案是，这样会使操作更简单！看到这相信有些人就有些感觉了，为什么复杂度被lg了呢？可以看到，c8可以看作a1～a8的左半边和+右半边和，而其中左半边和是确定的c4，右半边其实也是同样的规则把a5～a8一分为二……继续下去都是一分为二直到不能分，可以看看B图。怎么样？是不是有点二分的味道了？对，说白了树状数组就是巧妙的利用了二分，她并不神秘，关键是她的巧妙！

       她又是怎样做到不断的一分为二呢？说这个之前我先说个叫lowbit的东西，lowbit(k)就是把k的二进制的高位1全部清空，只留下最低位的1,比如10的二进制是1010,则lowbit(k)=lowbit(1010)=0010(2进制)，介于这个lowbit在下面会经常用到，这里给一个非常方便的实现方式，比较普遍的方法lowbit(k)=k&-k，这是位运算，我们知道一个数加一个负号是把这个数的二进制取反+1，如-10的二进制就是-1010=0101+1=0110，然后用1010&0110，答案就是0010了！明白了求解lowbit的方法就可以了，继续下面。介于下面讨论十进制已经没有意义（这个世界本来就是二进制的，人非要主观的构建一个十进制），下面所有的数没有特别说明都当作二进制。

       上面那么多文字说lowbit，还没说它的用处呢，它就是为了联系a数组和c数组的！ck表示从ak开始往左连续求lowbit(k)个数的和，比如c[0110]=a[0110]+a[0101]，就是从110开始计算了0010个数的和，因为lowbit(0110)=0010，可以看到其实只有低位的1起作用，因为很显然可以写出c[0010]=a[0010]+a[0001]，这就为什么我们任何数都只关心它的lowbit，因为高位不起作用（基于我们的二分规则它必须如此！），除非除了高位其余位都是0，这时本身就是lowbit。

既然关系建立好了，看看如何实现a某一个位置数据跟改的，她不会直接改的（开始就说了，a根本不存在），她每次改其实都要维护c数组应有的性质，因为后面求和要用到。而维护也很简单，比如更改了a[0011]，我们接着要修改c[0011],c[0100],c[1000]，这是很容易从图上看出来的，但是你可能会问，他们之间有申明必然联系吗？每次求解总不能总要拿图来看吧？其实从0011——>0100——>1000的变化都是进行“去尾”操作，又是自己造的词--''，我来解释下，就是把尾部应该去掉的1都去掉转而换到更高位的1,记住每次变换都要有一个高位的1产生，所以0100是不能变换到0101的，因为没有新的高位1产生，这个变换过程恰好是可以借助我们的lowbit进行的，k +=lowbit(k)。

       好吧，现在更新的次序都有了，可能又会产生新的疑问了：为什么它非要是这种关系啊？这就要追究到之前我们说c8可以看作a1～a8的左半边和+右半边和……的内容了，为什么c[0011]会影响到c[0100]而不会影响到c[0101]，这就是之前说的c[0100]的求解实际上是这样分段的区间 c[0001]~c[0001] 和区间c[0011]~c[0011]的和，数字太小，可能这样不太理解，在比如c[0100]会影响c[1000]，为什么呢？因为c[1000]可以看作0001～0100的和加上0101~1000的和，但是0101位置的数变化并会直接作用于c[1000]，因为它的尾部1不能一下在跳两级在产生两次高位1,是通过c[0110]间接影响的，但是，c[0100]却可以跳一级产生一次高位1。

         可能上面说的你比较绕了，那么此时你只需注意：c的构成性质（其实是分组性质）决定了c[0011]只会直接影响c[0100]，而c[0100]只会直接影响[1000]，而下表之间的关系恰好是也必须是k +=lowbit(k)。此时我们就是写出跟新维护树的代码：

void add(int k,int num)
{
    while(k<=n)
    {
        tree[k]+=num;
        k+=k&-k;
    }
}

       有了上面的基础，说求和就比较简单了。比如求0001～0110的和就直接c[0100]+c[0110]，分析方法与上面的恰好逆过来，而且写法也是逆过来的，具体就不累述了：

int read(int k)//1~k的区间和
{
    int sum=0;
    while(k)
    {
        sum+=tree[k];
        k-=k&-k;
    }
    return sum;
}

链接：http://www.cnblogs.com/nanke/archive/2012/02/27/2370512.html

int lowbit(int x)
{
return x & (-x);
}
void modify(int x,int add)//一维
{  
while(x<=MAXN)  
    {      
        a[x]+=add;    
        x+=lowbit(x); 
    }
}
int get_sum(int x)
{  
int ret=0; 
while(x!=0)  
    {       
        ret+=a[x];   
        x-=lowbit(x);   
    }  
return ret;
}
void modify(int x,int y,int data)//二维
{
for(int i=x;ifor(int j=y;j            a[i][j]+=data;
}
int get_sum(int x,int y)
{
int res=0;
for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
for(int j=y;j>0;j-=lowbit(j))
            res+=a[i][j];
return res;

}

转载链接：http://blog.csdn.net/hnust_xiehonghao/article/details/9090725

#include
#include

#define size 100111
int c[size],n;
int Lowbit(int k)
{
    return (k&-k);
}
void update(int pos,int num)
{
    while(pos<=size)//注意这里
    {
        c[pos]+=num;
        pos+=Lowbit(pos);
    }
}
int sum(int pos)
{
    int s=0;

    while(pos>0)
    {
        s+=c[pos];
        pos-=Lowbit(pos);
    }
    return s;
}
int main()
{
    int i,j,s;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        memset(c,0,(n+3)*sizeof(c[0]));
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&s);
            update(s,1);
        }
    }
    return 0;
}

二维：

#include
#include
const int N=10000;
int c[111][111];
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

void modify(int x,int y,int delta )
{
    int i, j;
    for(i=x;i<=N;i+=lowbit(i))
    {
        for(j=y; j<=N; j+=lowbit(j))
        {
            c[i][j] += delta;
        }
    }
}

int sum( int x, int y )
{
    int res=0,i,j;
    for(i=x;i>0;i-=lowbit(i))
    {
        for(j=y; j>0; j-=lowbit(j))
        {
            res += c[i][j];
        }
    }
    return res;
}

求出任意一个子矩阵内的所有元素之和，即sum(x2, y2) - sum(x1-1, y2) - sum(x2, y1-1) + sum(x1-1, y1-1)