Batch Normalization 神经网络加速算法

转自： http://www.cnblogs.com/neopenx/p/5211969.html

从Bayesian角度浅析Batch Normalization

前置阅读：http://blog.csdn.net/happynear/article/details/44238541——Batch Norm阅读笔记与实现

前置阅读：http://www.zhihu.com/question/38102762——知乎网友

作者：魏秀参
链接：https://www.zhihu.com/question/38102762/answer/85238569
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这里分五部分简单解释一下Batch Normalization (BN)。
1. What is BN?
顾名思义，batch normalization嘛，就是“批规范化”咯。Google在ICML文中描述的非常清晰，即在每次SGD时，通过mini-batch来对相应的activation做规范化操作，使得结果（输出信号各个维度）的均值为0，方差为1. 而最后的“scale and shift”操作则是为了让因训练所需而“刻意”加入的BN能够有可能还原最初的输入（即当 ），从而保证整个network的capacity。（有关capacity的解释：实际上BN可以看作是在原模型上加入的“新操作”，这个新操作很大可能会改变某层原来的输入。当然也可能不改变，不改变的时候就是“还原原来输入”。如此一来，既可以改变同时也可以保持原输入，那么模型的容纳能力（capacity）就提升了。）
<img src="https://pic2.zhimg.com/9ad70be49c408d464c71b8e9a006d141_b.jpg" data-rawwidth="776" data-rawheight="616" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="776" data-original="https://pic2.zhimg.com/9ad70be49c408d464c71b8e9a006d141_r.jpg">关于DNN中的normalization，大家都知道白化（whitening），只是在模型训练过程中进行白化操作会带来过高的计算代价和运算时间。因此本文提出两种简化方式：1）直接对输入信号的每个维度做规范化（“normalize each scalar feature independently”）；2）在每个mini-batch中计算得到mini-batch mean和variance来替代整体训练集的mean和variance. 这便是Algorithm 1. 关于DNN中的normalization，大家都知道白化（whitening），只是在模型训练过程中进行白化操作会带来过高的计算代价和运算时间。因此本文提出两种简化方式：1）直接对输入信号的每个维度做规范化（“normalize each scalar feature independently”）；2）在每个mini-batch中计算得到mini-batch mean和variance来替代整体训练集的mean和variance. 这便是Algorithm 1.

2. How to Batch Normalize?
怎样学BN的参数在此就不赘述了，就是经典的chain rule：

3. Where to use BN?
BN可以应用于网络中任意的activation set。文中还特别指出在CNN中，BN应作用在非线性映射前，即对 做规范化。另外对CNN的“权值共享”策略，BN还有其对应的做法（详见文中3.2节）。

4. Why BN?
好了，现在才是重头戏－－为什么要用BN？BN work的原因是什么？
说到底，BN的提出还是为了克服深度神经网络难以训练的弊病。其实BN背后的insight非常简单，只是在文章中被Google复杂化了。
首先来说说“Internal Covariate Shift”。文章的title除了BN这样一个关键词，还有一个便是“ICS”。大家都知道在统计机器学习中的一个经典假设是“源空间（source domain）和目标空间（target domain）的数据分布（distribution）是一致的”。如果不一致，那么就出现了新的机器学习问题，如，transfer learning/domain adaptation等。而covariate shift就是分布不一致假设之下的一个分支问题，它是指源空间和目标空间的条件概率是一致的，但是其边缘概率不同，即：对所有 , ，但是 . 大家细想便会发现，的确，对于神经网络的各层输出，由于它们经过了层内操作作用，其分布显然与各层对应的输入信号分布不同，而且差异会随着网络深度增大而增大，可是它们所能“指示”的样本标记（label）仍然是不变的，这便符合了covariate shift的定义。由于是对层间信号的分析，也即是“internal”的来由。
那么好，为什么前面我说Google将其复杂化了。其实如果严格按照解决covariate shift的路子来做的话，大概就是上“importance weight”（ ref ）之类的机器学习方法。可是这里Google仅仅说“通过mini-batch来规范化某些层/所有层的输入，从而可以固定每层输入信号的均值与方差”就可以解决问题。如果covariate shift可以用这么简单的方法解决，那前人对其的研究也真真是白做了。此外，试想，均值方差一致的分布就是同样的分布吗？当然不是。显然，ICS只是这个问题的“包装纸”嘛，仅仅是一种high-level demonstration。
那BN到底是什么原理呢？说到底还是 为了防止“梯度弥散”。关于梯度弥散，大家都知道一个简单的栗子： 。在BN中，是通过将activation规范为均值和方差一致的手段使得原本会减小的activation的scale变大。可以说是一种更有效的local response normalization方法（见4.2.1节）。

5. When to use BN?
OK，说完BN的优势，自然可以知道什么时候用BN比较好。例如，在神经网络训练时遇到收敛速度很慢，或梯度爆炸等无法训练的状况时可以尝试BN来解决。另外，在一般使用情况下也可以加入BN来加快训练速度，提高模型精度。


诚然，在DL中还有许多除BN之外的“小trick”。 别看是“小trick”，实则是“大杀器”，正所谓“ The devil is in the details”。希望了解其它DL trick（特别是CNN）的各位请移步我之前总结的： Must Know Tips/Tricks in Deep Neural Networks
以上。
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Deep Learning与Bayesian Learning在很多情况下是相通的，随着Deep Learning理论的发展，

我们看到，Deep Learning越来越像Bayesian Learning的一个子集，Deep Learning的高手当中，

很多也是Bayesian Learning高手，尤其是Hinton一门，嘲讽Hinton只会神经玄学的可以去一边凉快了。

尤其是Hinton的首席弟子——Russ Salakhutdinov，对Bayesian Learning的造诣相当高。

 

Deep Learning的很多做法，从Bayesian角度都可以合理给出解释。

相反，Vapnik的统计机器学习，看起来就和Bayesian背道而驰。

ICML 2015火起来的Batch Normalization，同样也有一些Bayesian的道理。

正文：

零均值、单位方差

L2-NORM

零均值、等量方差的高斯分布在贝叶斯拟合领域有个重要身份——L2-NORM

在PRML的序章，Bishop揭示了L2-NORM的由来：

I、似然函数*先验分布=后验分布

II、log(后验分布)=log(似然函数)+L2-NORM

很不巧的是，这个先验分布恰恰是零均值、等量方差的高斯分布：

N(w|0,α−1I)Nw0α1I

不过较为特殊的是，等量方差仅限于协方差矩阵的对角线，这与Batch Norm的简化方差是相同的处理。

Regularizer

PRML读书后记(一): 拟合学习解释了加入等量方差之后，后验分布的拟合会受到一种压制之力。

在式 −lnp(w|T)=β2∑Nn=1{tn−wTϕ(xn)}2+α2WTW+constlnpwTβ2n1NtnwTϕxn2α2WTWconst  中，

如果我们考虑将等量方差设为1，即α=1α1，那么在L2-NORM中，对参数WW的压制是相当大的。

这点在从参数WW，迁移到输入XX的时候，效果仍然存在。

固定输入XX的高斯分布，本质是压制输入XX的波动，进而均衡各层的输入量级。

共轭分布与表征破坏

与在目标函数里加入先验分布的假设一样，对输入做标准化，依然会改变其分布。

做标准化的分布，会以共轭分布的形式，叠加至原始分布中。

考虑这么一种情况：

假设在神经网络某层激活之后，传递的新一层当中，我们得到关于输出的分布P(X)PX，

如果我们在学习一群猫，那么P(X)PX就可能是关于描述一张猫脸的概率分布。

这种理解，来自于对Deep Learning与Bayesian Learning的结合，即:

神经网络的逐层抽象，本身就是对自然物体在自然界中存在的概率建模。

 

单独从传统Bayesian Learning角度看，我们很少会考虑对图像的特征概率建模，

如何计算一张图的概率？

CV界的老一辈大牛会告诉你，根本不可能，乖乖用人工特征吧。

但是神经网络却可以做到这点，基于误差的修正，本身是可以近似出图像的特征概率的。

这种想法，在早期，对于传统CV界，以及传统Bayesian界，都是天方夜谭，但是Deep Learning却做到了。

Salakhutdinov教授在2015年的BPL中，更进一步，对图像特征的概率建模，大胆，而且有趣。

而且也证明了一点，对图像特征的直接概率建模比基于误差迭代计算概率的Deep Learning更有效率，

前者只需要使用很少的数据，后者则需要要庞大的数据支持，才能得到图像的概率建模。

 

单独从传统Deep Learning来看，这个是老问题了，很多人认为Deep Learning就是玄学，

其实是他们没有将其与Bayesian贯通起来，熟悉Bayesian的人，不会觉得Deep Learning是毫无理论的玄学，

Hinton的RBM就是Bayesian与神经网络结合的最好例子。

 

回到主题，对一张猫脸的分布P(X)PX，进行normalize，

相当于得到一个后验分布：

P(MAP)=P(X)P(NORM)PMAPPXPNORM

这个后验分布是一个双刃剑：

I、一方面，它有利于训练收敛。

II、另一方面，你觉得这张猫脸会不会被扭曲？会不会少了耳朵？缺了鼻子或是眼睛？

 

第二点你不用猜了，对原始表征分布的破坏是必然的，这会造成模型容量的下降。

猫脸的耳朵不见了，鼻子不见了，眼睛不见了，就需要额外的W去拟合。

假设W的数量是一定的，额外的W会被其他表征竞争，就可以造成模型容量下降了。

这点可以从L2-NORM角度理解，破坏了P(X)PX之后，必然会波及到P(W)PW。

L2-NORM降低模型容量也是一个事实了。

 

在这点上，作者在论文里给出一个误导解释，那就是举了一个不恰当的例子：

normalize，在sigmoid当中，只会利用线性部分，在论文配图中，确实给出了证明。

这个例子本身是对的，但是用来解释表征破坏就是牵强的，

甚至在happynear的文章中就理解错了，认为逆转回去的参数ββ、γγ，是在校正激活函数的激活范围。

实际上并不是，将normalize的X^X逆转回去，是为了在加速收敛和表征破坏之间，留一个trade off的空间。

表征缠绕

表征之间存在着复杂的缠绕关系，这在Deep Learning和Sparse Coding中已经成为共识。

normalize之后，将对这些缠绕关系造成破坏。

用逆思维考虑，如果能够直接暴力拆掉这些缠绕，比如PCA或者ZCA，

那还要RBM或者AutoEncoder干嘛？还要Deep Learning干嘛？

在Bengio的[Learning Deep Architectures for AI]中，AutoEncoder/RBM被解释成了智能化的PCA

因为它能智能化地拆解数据的非线性缠绕关系，当然是得益于BP算法的对比误差校正。

你觉得normalize像是一个智能拆解的工具嘛？显然不是。

所以，Batch Normalization最大的亮点在于，模仿AutoEncoder/RBM，添加逆转参数，

让梯度流经过，做二次tuning，对为了追求加速收敛而造成的破坏表征，进行一次修复工作。

当然，这个修复是不可能100%完成的，正如AutoEncoder/RBM不可能由X^X复现出XX一样。

Covariate Shift VS Internal Covariate Shift

关于Covariate Shift，知乎已经给出了不错的解释。

但是针对Internal Covariate Shift，我们又被作者误导了。

Covariate Shift ≠ Internal Covariate Shift，前者是迁移学习问题，后者是一个训练优化问题。

正如知乎的层主所说的那样，各层添加零均值、单位方差的共轭分布，只针对数值，而不针对表征。

实际上，如果把表征也”共荣化“，那就反而糟糕了。

多层神经网络可以看作是一个迁移学习问题，层与层之间的抽象等级不同，

比如学习一只猫，经过多层神经网络抽象后，就可以迁移分裂成多个机器学习问题：

学习猫脸、学习猫腿、学习猫身、学习猫爪、学习猫尾。

如果normalize之后，这五个部分的表征分布都变一样了，那么Deep Learning不是可以废掉了？

所以说，normalize仅仅是数值层面的均衡化，以及表征层面的轻度破坏化。

Internal Covariate Shift只针对数值偏移，而Covariate Shift才针对表征偏移。

BN as a Regularizer

来自[Segedy15]，也就是著名的Inception V3的观点，见第四节末：

This also gives a weak supporting evidence for the conjecture that batch normalization acts as a regularizer.

 

 

 

再从贝叶斯观点来看，BN其实没啥稀奇的，就是共轭一个高斯分布而已，自然同L2一样。

个人比较支持Segedy大神认为BN也是一个regularizer。

均衡的数值体系

Gradient Vanish

Gradient Vanish问题是深度神经网络优化的头号难题。(Bengio组证明了局部最小值有有益的)

从目前来看，造成Vanish的有两种原因，论文提了一处，就是Sigmoid函数问题。

当XX变大时，Sigmoid′(X)→0SigmoidX0 。

考虑一下，何时XX变大？网络从后往前时，这样，Sigmoid深度网络的梯度衰减了相当严重。

 

那是不是换成了ReLU，就没有Gradient Vanish了？显然你太天真了。

Hinton在2015年的剑桥讲座中，给了一张有趣的图，见 神经网络模型算法与生物神经网络的最新联系：

这是使用了ReLU的梯度流动图，我们可以看到，替换Sigmoid为ReLU之后，

较低层的梯度已经得到了很好的缩放了。

让我们仔细推敲一下梯度计算公式：

设y=WxyWx，则∂y∂W=x∂y∂Wx

看起来没有什么问题。

当迁移到深度神经网络当中，我们又有：

∂l∂y1∂y1∂y2∂y2∂y3.....∂yn∂y∂y∂W∂l∂y1∂y1∂y2∂y2∂y3∂yn∂y∂y∂W

化简一下：

∂l∂y1W1W2W3.......Wn∂y∂W∂l∂y1W1W2W3Wn∂y∂W

中间冗长的W累积，是Gradient Vanish的真正原因，在RNN中，Gradient也有同样的问题。

以LSTM的观点来看，这大概可以视作是BP链路承载了太多冗余信息，衰减是必然的。

但LSTM使用了门控电路的方法，由神经网络嵌套神经网络，对梯度链路进行了智能裁剪，

以达到跳跃中间某些信息，到达反向传播底层的目的，详情见 Long-Short Memory Network(LSTM长短期记忆网络)

 

再次回到这张图：

可以看到，从W3到W1，W衰减的相当厉害，累积之后依然可以造成可观的Vanish。

这种逐层衰减有一个直接诱因，就是输入XX波动比较厉害。

直观上来说，对于一个网络层：

I、XX大点，WW肯定要小点。

II、XX小点，WW肯定要大点。

违反这两条，会让激活值处于函数边界，从而被自然选择淘汰掉（有点遗传算法的味道）。

另一方面，从初始化方案来看，我们也能看到，对WW的初始化范围是逐层递增的。

这是经典的大拇指规则(Rule of Thumb)，由无数前辈的实验得到，似乎已经成了共识。

 

normalize之后，各层的XX遭到了压制，并且向高斯分布中心进行数值收缩。

进而，由XX影响到了WW，WW也向高斯分布中心进行数值收缩。

这样，W1W2W3.......WnW1W2W3Wn的衰减将会得到可观的减缓。

这大概是Batch Normalization可以减轻使用ReLU的Gradient Vanish的直接原因。

Sigmoid

如果上一部分的推测是对的，那么可以使用Sigmoid的原因，就独立开来了。

正如论文中的那张配图：

可以看到，Sigmoid函数的输入值XX几乎是被压制到了线性响应部分。

这时候，两端的侧抑制似乎是没有多少用的，Sigmoid已经开始向ReLU近似。

此时，Sigmoid′(X)SigmoidX为趋于0的可能性已经不大了。

Over Fitting

正如第一章从Beyesian角度分析一样，收缩了P(X)PX之后，也波及到P(W)PW。

WW数值的整体量级得到了削减。

PRML读书后记(一): 拟合学习、关于过拟合、局部最小值、以及Poor Generalization的思考中，

给出了维数灾难形象描述。

WW的数值收缩，从维数灾难角度理解，撇开降维这种暴力方法，一定程度上可以减轻过拟合问题。

Learning Rate

论文中应该给出的是稍大，而不是无限大。

事实上，你要是给个比较大的学习率，还是会导致目标函数发散。

包括在训练后期，你要不把学习率降低量级，训练有很大可能从函数谷面跑飞过去了。(亲测)

个人推测，应该是XX、WW、GradientGradient被均衡后，量级得到收缩，允许稍大的学习率存在。

二阶近似优化方案，ADADELTA以及RMSPROP，免除人工干扰学习率的困扰。

ADADELTA详细参考：自适应学习率调整：AdaDelta

Dropout

从我实际测试来看，非常不鼓励扔掉Dropout。

Batch Norm根本压不住大模型在训练后期的过拟合。

我甚至还是保留着50%的Dropout，速度也还不错。

Dropout的两个作用：稀疏与动态平均，不仅从数值上抑制过拟合。

在表征训练方面，也有一定的regularize效果。

编程技巧

BN有两种写法，合并式和分离式。

Caffe master branch采用的是分离式写法，CONV层扔掉bias，接一个BN层，再接一个带bias的SCALE层。

我个人更推崇合并式写法，这样在深度网络定义文件中，可以不用眼花缭乱。

从执行速度来看，合并式写法需要多算一步bias；

分离式写法，在切换层传播时，OS需要执行多个函数，在底层（比如栈）调度上会浪费一点时间。

可以说，各有优劣。默认推荐https://github.com/ducha-aiki/caffe的合并式写法。

分离式写法，见官方master branch。

代码

默认实现在我的Dragon框架下，只提供GPU代码，Caffe稍作修改即可，CPU也稍作修改即可。

(注意dragon_copy和caffe的是相反的)

https://github.com/neopenx/Dragon/blob/master/Dragon/layer_include/common_layers.hpp

https://github.com/neopenx/Dragon/blob/master/Dragon/layer_src/batch_norm_layer.cpp

(forward、backward是错的，参考cu文件里的写法)

https://github.com/neopenx/Dragon/blob/master/Dragon/layer_src/batch_norm.cu

还有proto：

message BatchNormParameter{
    optional bool use_global_stats=1 [default=true];
    optional float decay=3 [default=0.95];
    optional float eps=2 [default=1e-10];
}


message LayerParameter{
    .......
    optional BatchNormParameter batch_norm_param=xxx;
    .......
}

 精度eps推荐1e-10，1e-5在cifar10中已经过大了。

ββ、γγ的初始化

论文里没说，https://github.com/ducha-aiki/caffe/blob/elu/examples/BN-nator.ipynb中给出的方案是：

ββ为常数0.0000001，γγ为常数1.0000001

我测了几次，发现用0和1的效果好像随机出来不是很好，推测是精度问题？还是我人品太差了？

全局统计测试

论文默认推荐是开启全局统计测试，也就是记录每次batch的均值和方差。

在测试的时候，用累积和的期望值。无偏估计的系数可以忽略，意义不大。

我与ducha-aiki的方案不同之处，在于用blob[4]记录总batch数量，

在训练的时候，利用：

(均值*数量+新值)/(数量+1)来更新

在测试的时候，直接copy过来，然后做norm。

在cifar10测试中，我发现，对于batch为100的验证集，精度会比不做全局统计差很多。

可能是，训练次数过低，导致的全局统计值不是很稳定。

在追加了一定训练次数之后，在cifar10 quick epoch12时，

差距仍然达到了8%，(66% vs 74%)。

所以不推荐在测试数据充裕的情况下，做全局统计测试，往往会得到不好的结果。(写论文注意)

相反，对于实际使用的时候，测试数据就几个，这时候做一做效果还是可以的。

不过还是看人品，没准就偏移大了，不准了，这大概是Batch Norm唯一不好的地方吧。

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在epoch达到60后，这种方法的测试精度已经退化到40%了。

仔细想了一下，发现做纯平均是错的，因为前后更新的重要度不一样。

一般我们认为，最新更新的比较重要。

所以改用ducha-aiki的moving average decay的方案。

设置decay=0.95，

每次更新的时候，最新量0.95+0.05*history，这种平均比纯平均期望意义更大。

后者在训练末期，数值体系已经被纯平均搞得崩溃了。

使用这种滑动平均期望后，默认的验证和测试，开启全局统计就没问题了。

随机抖动

使用Batch Norm之后，每次跑程序的时候，在初期，训练似然和验证精度都有很大的变化。

有时候特别好，有时候特别差，相当不稳定。

推测应该是normalize之后，放大了随机初始化的差异问题，这个在写代码debug的时候需要注意。

多测几次，不要误判为bug。

适用范围

在https://github.com/ducha-aiki/caffe/blob/elu/examples/BN-nator.ipynb中，

我们可以看到，所有CONV和INNER_PRODUCT层都是可以做Batch Norm的。

实际测试的时候，因为波动、以及层数少的问题，没发现什么异常。

用法如下（不要像激活函数那样用成in-place)：

layer{
    name:"bn1"
    type:"BatchNorm"
    bottom:"conv1"
    top:"bn1"
}

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由于INNER_PRODUCT层后一般习惯接DROPOUT，而且INNER_PRODUCT一般处于反向链式

前端，所以INNER_PRODUCT上的Batch Norm可能显得多余，我用浅层模型没有测出来较大的差异。

计算代价

注意论文中的：

在实现的时候，是可以优化的，主要是提取公因子，x_norm.diff、-1/m，以及sqrt(..)项都可以提出来。

具体需要仔细琢磨，x_norm.diff计算出来之后，下面那几段收缩、扩展的代码，相当经典。

尽管如此，Batch Norm的计算代价还是相当大的，我觉得比卷积层还大。

所以CPU党可以不用尝试了，逐层Batch Norm实在是太慢了。