【声学基础】概述——吸收

第九章.声波的吸收

  在本章中，我们不再将媒质看成理想的，此时声波会随着距离而逐渐衰减，这里我们讨论由于粘滞、热传导及弛豫效应引起的声波吸收。（这部分内容物理理解较浅，仅作一个整理）

粘滞媒质运动方程

  当粘滞媒质中相邻质点的运动速度不相同时，它们之间的相对运动会产生内摩擦力，即带来声衰减。粘滞力正比于速度的梯度，将粘滞力添加到运动方程中，并将所有物理量变换成位移，此时粘滞力这一项就会有关于时间的一次导数项，对波动方程做傅里叶变换后，会出现$j\omega$，此时的波数$k=\frac{\omega }{c}-j\alpha$就是一个复数，实部代表传播，虚部代表吸收。
  这里的声速$c$以及吸收系数$\alpha$都是频率以及粘滞系数的复杂函数，我们进行一定的近似，可以得到$c=c_0$以及$\alpha \propto {\omega }^2$，近似的条件为$\omega H\ll 1$，该式的物理意义是分子的平均自由程远小于声波的波长，此时媒质可看作是连续的，这也是目前研究的声学问题的前提。
  粘滞系数分为两部分，一部分是切变粘滞系数${\eta }^{{}^{\prime }}$(固定)，一部分是容变粘滞系数${\eta }^{{}^{\prime \prime }}$(与媒质内部微观结构的弛豫过程有关，是一个频率相关的复杂函数，不同的媒质分子要做不同的分析)，但两种粘滞都是通过媒质形变产生的，所以都反映到速度梯度上，可用一个式子表示。

热传导吸收

  当媒质中有声波经过时，媒质产生压缩和膨胀的变化，对于理想媒质是可逆绝热过程，温度的变化可以跟得上体积的变化(体积最小时温度最高，体积最大时温度最低)。而对于非理想媒质，媒质中存在热传导，此时相邻的压缩区和膨胀区之间的温度梯度，将导致一部分的热量从温度高的部分流向温度低的部分，媒质的机械能转化成热能流出，该过程不可逆。理论计算表明，媒质的热传导系数也与频率的平方成正比。

声吸收经典公式

  在考虑了切变粘滞和热传导后，斯托克斯-克希霍夫公式给出了总的声吸收系数，其正比于频率的平方。
  在几乎所有气体中，切变粘滞和热传导带来的声吸收具有相同的数量级，但粘滞吸收会更大些。几乎所有液体中，切变粘滞远大于热传导。
  实验发现，利用经典吸收公式计算得到理论值和吸收系数的实验值有差别，且实验值的频率依赖性也不再是频率的平方，这是因为在计算粘滞系数中忽略了容变粘滞系数${\eta }^{{}^{\prime \prime }}$，该值受到分子弛豫过程的影响。

分子弛豫吸收概述

  当媒质中有声波通过时，媒质的物理参数及其相应的平衡状态也将随着声波过程而发生简谐的变化，而平衡状态的变化伴有各自由度能量的重新分配(处于某一平衡状态的气体的内能应是各个自由度能量之和)，建立新的平衡态的过程就称为弛豫过程，所需要的时间称为弛豫时间。弛豫过程中会产生有规声振动转变为无规热运动的附加能量耗散，即弛豫吸收，当声振动的周期和弛豫时间具有相同数量级时，弛豫吸收最大。
  分子弛豫过程是由于媒质的体积形变所引起的，因此在宏观上就反应为容变粘滞了。
  考虑到内自由度能量的弛豫时间较长，故内自由度能量对热容的贡献需要进行一个修正，然后根据修正后的热容重新求得声速和吸收系数。
  分子弛豫过程会引起速度随频率而变化的频散现象，是一条S型的曲线。
  弛豫吸收系数经过变形可以写成与切变粘滞引起的吸收系数类似的形式${\alpha }_R=\frac{{\omega }^2}{2{\rho }_0{c}^3}{\eta }^{{}^{\prime \prime }}$，但是这里的容变粘滞系数${\eta }^{{}^{\prime \prime }}$与频率有关，即${\eta }^{{}^{\prime \prime }}=\frac{{\eta }_0^{{}^{\prime \prime }}}{1+{\omega }^2{\tau }^{{}^{\prime }2}}$，所以吸收系数随频率的变化比平方律要慢些，且当声波的周期与弛豫时间相同时，吸收达到最大值。个人理解：有点类似于共振，以及傅里叶变换中的积分剩余量。

Reference：
杜功焕.声学基础(第三版)[M].南京大学出版社