求整数的近似平方根（牛顿迭代法）

曾经面试遇到过一道编程题：

给出一个整数，求其近似平方根。

当时没有想到更好的方法，就暴力进行了破解，这当然不会留下好的印象。其实，这道题使用牛顿迭代法可以十分高效的解决。

一、什么是牛顿迭代法

假设有函数：，要想求出其根，则可以：

1. 给出一个初始点，则在该点的切线为：；
2. 沿着切线方向，与横轴相交，也即令：，则求得：；
3. 更新，令：；
4. 按照1~3步骤迭代下去，直到精度满足要求；

上述算法的第1、2步，其实也就是函数在处的泰勒展开取前两项：

上述泰勒展开式，取前两项并使之等于0，则有：，同样可以得到步骤2中的迭代公式。

 

牛顿迭代法示意

二、解决求根问题

对于求一个整数近似平方根这个问题，我们可以简单做一个转换，使得问题变为一个方程：。对于方程，是已知待求平方根的整数，为我们的求解目标，此时，我们的目的就变成了求解的根了！

那么，利用上述的牛顿迭代法，即可轻松解决。废话少说，直接上码：

def square_root(n:int)->float:
    """ f(x) = x^2 - n = 0，求该方程的根
    """
    x0 = 1
    i = 0
    while True:
        i += 1
        x1 = x0 - (x0**2 - n)/(2*x0)
        if x1 - x0 < 1e-10 and x1-x0> -1e-10:
            print("total iterations: ", i+1)
            break
        x0 = x1
    return x1

代码中：

我们给定初始值为1，这里需要注意的是，我们给的初始值不能是方程的极值点，否则利用牛顿迭代法则无法继续优化下去；

设定了迭代结束条件：，当满足该条件时，说明求解的精度已经很高了，此时的迭代结果即可作为近似根了。

三、拓展一下

第二部分，给出了使用牛顿迭代法求解给定整数近似平方根的方法，我们同样可以用于处理其他问题，如求解给定整数立方根..n次方根、给定任意方程，求其近似解等问题。

下面给出求解立方根的解法，与求解平方根十分相似，唯一不同之处就在于目标迭代公式稍微发生一点变化：

def cube_root(n:int)->float:
    """ f(x) = x^3 - n = 0，求该方程的根
    """
    x0 = 1
    i = 0
    while True:
        i += 1
        x1 = x0 - (x0**3 - n)/(3*x0**2)
        if x1 - x0 < 1e-20 and x1-x0> -1e-20:
            print("total iterations: ", i+1)
            break
        x0 = x1
    return x1