0/1背包问题一维逆序解释

01背包问题

• 有n件物品，每件物品的重量为w[i],价值为c[i]。
• 现有容量为V（重量）的背包，
• 问如何选取物品放入背包，
• 使得背包内物品的总价值最大
• 令dp[i][v]表示表示前i件物品恰好装入容量(重量)为v的背包中所能获得的最大价值
  *状态转移方程：
• dp[i][v]=max(dp[i-1][v],dp[i-1][v-w[i]]+c[i])
• 条件：1<=i<=n,w[i]<=v<=V
• 边界条件:dp[0][v]=0,0<=v<=V
• for(int i=1;i<=n;i++){
  for(int v=w[i];v<=V;v++){
  dp[i][v]=max(dp[i-1][v],dp[v-1][v-w[i]]+c[i]);
  }
  }
• 变为一维状态转移方程，逆序原因：
• 采用从右到左只会计算dp[i][v+1]，不会覆盖掉dp[i][v],不会出错
• 如果采用从左到右边，原dp[i-1][v]会被dp[i][v]覆盖掉,后面用的时候会出错了
• dp[v]=max(dp[v],dp[v-w[i]]+c[i])
• for(int i=1;i<=n;i++) {
  for (int v = V; v >= w[i]; v–){
  dp[v]=max(dp[v],dp[v-w[i]]+c[i])
  }
  }

#include 
#include
using namespace std;

const int maxn=100;
const int maxv=1000;
int w[maxn],c[maxn],dp[maxv];
int main()
{
     
    int n,V;
    scanf("%d%d",&n,&V);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
     
        scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
    }
    fill(dp,dp+maxv,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
     
        for(int v=V;v>=w[i];v--)
        {
     
            dp[v]=max(dp[v],dp[v-w[i]]+c[i]);
        }
    }
    cout<<dp[V]<<endl;
}