ACM常见博弈（更新中）
大佬的博客
对比之下，感觉到羞耻，这个博客就平时我自己不记得翻翻看吧
巴什博弈（Bash Game）
题意：n 个石子，两人轮流取，可以自己挑选 1 到 m 个，谁取完最后一堆谁获胜.
结论：
n % ( m + 1 ) = = 0 n \% (m+1)==0 n%(m+1)==0 先手必败,否则必胜
尼姆博弈论（Nim Game)
题意：n 堆石子，每堆石子有a[i]个，每人轮流取，每次取某堆石子至少一个，最后取完者胜。
结论
a 1 ⨁ a 2 ⨁ . . . . ⨁ a n a_{1} \bigoplus a_{2} \bigoplus.... \bigoplus a_{n} a1⨁a2⨁....⨁an不为0，则先手必胜,反之先手必败
证明
在此贴上大佬的博客
https://blog.csdn.net/k_koris/article/details/81743806
延伸
三堆石子a,b,c 且 a>b>c;
如果a ^ b ^ c不为0，则当前人必胜，令a=b ^ c;
则实现转移
威佐夫博奕（Wythoff Game）
题意：有两堆石子，有两种取法：
1.从一堆石子取走任意多颗（>=1）
2.从两堆石子取走相同的任意多颗(>=2)
最后取完者胜
结论
a k = ⌊ k ∗ ( 1 + 5 ) 2 ⌋ ， b k = a k + k （ k = 0 ， 1 ， 2 ， … , n 方 括 号 表 示 向 下 取 整 ) a_{k} =\left \lfloor \frac{k*(1+ \sqrt{5} )}{2} \right\rfloor，b_{k}=a_{k}+k（k=0，1，2，…,n 方括号表示向下取整) ak=⌊2k∗(1+5)⌋，bk=ak+k（k=0，1，2，…,n方括号表示向下取整)
若满足上述状态，必败，反之必胜
延伸
若当前状态为 ( x , y ) (x,y) (x,y)，x<=y,求状态转移方法
若当前转态已经是必败态，就不需要转移了
- 从两堆取
若 x > a y − x x>a_{y-x} x>ay−x 则可以两堆都取 x − a y − x x-a_{y-x} x−ay−x 个，变为 ( a y − x , a y − x + y − x ) (a_{y-x},a_{y-x}+y-x) (ay−x,ay−x+y−x) - 只能一堆取
- 从 x 堆取
若 y = b k , x > a k y=b_{k},x>a_{k} y=bk,x>ak，则从 x 堆取 x − a k x-a_{k} x−ak 个，变为 ( a k , b k ) (a_{k}, b_{k}) (ak,bk) - 从 y 堆取
若 x = a k , y > b k x=a_{k},y>b_{k} x=ak,y>bk, 则从 y 堆取 y − b k y-{b_{k}} y−bk 个，变为 ( a k , b k ) (a_{k}, b_{k}) (ak,bk)
若 x = b k , n ! = m x=b_{k},n!=m x=bk,n!=m, 则从 y 堆取 y − a k y-a_{k} y−ak 个，变为 ( a k , b k ) (a_{k},b_{k}) (ak,bk) ，注意x，y交换了顺序 且当 n==m 时和 从x堆取一样的
- 从 x 堆取
至于 解 k ，x,y 不大直接递推吧
斐波那契博弈（Fibonacci Nim Game）
有一个堆n个石子（n>=2)，第一个人可以取任意多个，但是不得一次性把所有石子取完，后一个取的石子数量不得超过第一个人的两倍，最后取完者胜/
结论
若n不是斐波那契数列的某一项，则必胜，反之必败
延伸
若n不是斐波那契数列的某一项，根据某一定理：当一个数不是Fibonacci数时，这个数必然等于若干个Fibonacci数之和，并且这些Fibonacci数在Fibonacci数列中都不相邻。
设 n = f ( a n ) + . . . + f ( a 2 ) + f ( a 1 ) n=f(a_{n})+...+f(a_{2})+f(a_{1}) n=f(an)+...+f(a2)+f(a1)
先手拿最小的斐波那契数 f ( a 1 ) f(a_{1}) f(a1)，但是因为 f ( a 2 ) > 2 ∗ f ( a 1 ) f(a_{2})>2*f(a_{1}) f(a2)>2∗f(a1)
则后手不能一次性将 f ( a 2 ) f(a_{2}) f(a2)拿光，因此先手必胜，策略如上
Staircase Nim(阶梯博弈)
游戏开始时有许多硬币任意分布在楼梯上，共n阶楼梯从地面由下向上编号为0到n。游戏者在每次操作时可以将楼梯j(1<=j<=n)上的任意多但至少一个硬币移动到楼梯j-1上。游戏者轮流操作，将最后一枚硬币移至地上的人获胜。
结论
对奇数堆的石子进行Nim博弈，偶数堆不影响游戏的胜负
证明
大佬的博客
Moore’s Nimk
n堆石子，每次从不超过k堆中取任意多个石子，最后不能取的人失败。
结论
把n堆石子的石子数用二进制表示，统计每个二进制位上1的个数，若每一位上1的个数mod(k+1)全部为0，则必败，否则必胜。
证明
BB一句，感觉有点像Nim Game+Bash Game，但是有点对 N − > P N->P N−>P 这个转移没搞懂
大佬的博客1
大佬的博客2
Anti-Nim (反Nim游戏)
取法和Nim相同，但是取走最后一颗的人输。
结论
一个状态为必胜态，当且仅当：
1）所有堆的石子个数为1，且NIM_sum=0
2）至少有一堆的石子个数大于1，且 NIM_sum≠0
证明
- 当所有堆石子各位1且NIM_sum=0，等价于偶数堆，先手必胜, 满足结论 1)
- 只有一堆石子个数>1，很容易推先手出必胜策略，满足结论 2)
- 至少有两堆石子的个数>1，分别考虑两种情况,设sum为每堆石子的异或值
- 当 sum=0，取完有两种结果 （设为状态 1）
- 至少有两堆石子的个数>1,sum != 0
- 只要一堆石子的个数>1，sum!=0 ，满足结论 1)，先手必胜
- 当sum != 0时 （ 设为状态 2）
- 至少存在一种取法，使得至少存在两堆的石子数量>1且sum=0
- 当 sum=0，取完有两种结果 （设为状态 1）
很明显，状态1只会转移到状态2，当状态1不能转移到状态2则必败，而状态1只要能转移到状态2，则必定能由状态2转移到状态1，则sum=0必败.
看了大佬的博客才理解大佬的博客
Sprague-Grundy定理（SG定理）
我突然发现自己完全不会sg函数，我是谁，我在哪，我在干什么，sg函数是什么东西
贴上大佬的博客：大佬的博客
Every-sg
看着有点懵逼，在看看
参考文件
题目（+我觉得挺有意思的解题博客）
POJ:
取石子游戏
Matches Game ps： a [ i ] > s u m ⨁ a [ i ] a[i]>sum⨁a[i] a[i]>sum⨁a[i]运算顺序居然是从左到右，而不是先算 s u m ⨁ a [ i ] sum⨁a[i] sum⨁a[i]
Nim
A multiplication game 厚着脸皮贴上我自己的博客
A Funny Game
A Chess Game 第一个接触 sg定理的题目，题意本来就让我看半天，让后百度半天博客看不懂什么所以然，最后让大佬指导，原来 sg 定理不是我学的那么浅显，之前 sg 只会它的定义，哭唧唧
S-Nim 又是sg函数
Georgia and Bob 有点难理解的阶梯博弈
A New Stone Game 又没推出来规律，都要靠百度的，类似对称博弈
Nim 自己推出来的sb规律，考虑还是不周到哎
John 反Nim模板题
Euclid’s Game 简单思维
Christmas Game
HDU:
Stone Game II 我想不出，看大佬博客才理解：大佬博客
Parallel Expectations
Digital Deletions 记忆化搜索
Play a game 哎，又没想到这个解释的很好
Stone Game sg函数板子题，但是我一直没有想到如何求sg值，思维太固化了，这个题目很好
Northcott Game sg+Nim,比较容易想得到
Brave Game Bash Game模板题
Good Luck in CET-4 Everybody! 简单题
Fibonacci again and again sg函数板子题
Rabbit and Grass Nim博弈板子题
Being a Good Boy in Spring Festival Nim板子题
kiki’s game 可以直接打表或者推规律
Public Sale 巴什博弈板子
取(m堆)石子游戏 和前面一个题目一样，Nim板子
取(2堆)石子游戏 威佐夫博奕以及状态转移
GG AND MM 不理解
ZJU 3057 beans game
bzoj 1022: [SHOI2008]小约翰的游戏John
http://nyoj.top/problemset?keyword=%E5%8F%96%E7%9F%B3%E5%AD%90