欧拉定理数学证明[来自信息安全数学基础第二版]
文章目录
- 欧拉定理的证明
-
- 前提知识
- 欧拉定理：
- 证明：
欧拉定理的证明
前提知识
- ( a , b ) (a,b) (a,b)符号表示 a a a与 b b b的最大公因数，若 ( a , b ) = 1 (a,b)=1 (a,b)=1，则 a a a与 b b b互素
- φ ( m ) \varphi(m) φ(m)是指 [ 1 , m ] [1,m] [1,m]中与m互素的数的个数。 [ 1 , m ] [1,m] [1,m]中所有与 m m m互素的数构成模 m m m的简化剩余系。
- 若 m m m是一个正整数， a a a是满足 ( a , m ) = 1 (a,m)=1 (a,m)=1的数，若集合 K = { k 1 , k 2 , . . . k φ ( m ) } K=\{k_1,k_2,...k_{\varphi(m)}\} K={ k1,k2,...kφ(m)}遍历 m m m的简化剩余系，则 a ⋅ K a\cdot K a⋅K也遍历 m m m的一个简化剩余系。
欧拉定理：
设 m m m是大于1的整数。如果 a a a是满足 ( a , m ) = 1 (a,m)=1 (a,m)=1的整数时，则
a φ ( m ) ≡ 1 m o d n a^{\varphi(m)}\equiv 1\ mod\ n aφ(m)≡1 mod n
证明：
证: 取 r 1 , r 2 , ⋯ , r φ ( m ) r_1,r_2,\cdots,r_{\varphi(m)} r1,r2,⋯,rφ(m)为模 m m m的一个最小简化剩余系，则当 a a a是满足 ( a , m ) = 1 (a,m)=1 (a,m)=1的整数时，根据前提知识3，有
a ⋅ r 1 , a ⋅ r 2 , ⋯ , a ⋅ r φ ( m ) a\cdot r_1,a\cdot r_2,\cdots,a\cdot r_{\varphi(m)} a⋅r1,a⋅r2,⋯,a⋅rφ(m)
也为模 m m m的一个简化剩余系。也就是说， a ⋅ r 1 , a ⋅ r 2 , ⋯ , a ⋅ r φ ( m ) a\cdot r_1,a\cdot r_2,\cdots,a\cdot r_{\varphi(m)} a⋅r1,a⋅r2,⋯,a⋅rφ(m)是 r 1 , r 2 , ⋯ , r φ ( m ) r_1,r_2,\cdots,r_{\varphi(m)} r1,r2,⋯,rφ(m)模 m m m的一个排列。因此有
( a ⋅ r 1 ) ⋅ ( a ⋅ r 2 ) ⋯ ( a ⋅ r φ ( m ) ) ≡ r 1 ⋅ r 2 ⋯ r φ ( m ) m o d m (a\cdot r_1)\cdot(a\cdot r_2)\cdots(a\cdot r_{\varphi(m)})\equiv r_1\cdot r_2\cdots r_{\varphi(m)} \ mod\ m (a⋅r1)⋅(a⋅r2)⋯(a⋅rφ(m))≡r1⋅r2⋯rφ(m) mod m
因此，
r 1 r 2 ⋯ r φ ( m ) ( a φ ( m ) − 1 ) ≡ 0 m o d m r_1 r_2\cdots r_{\varphi(m)}(a^{\varphi(m)}-1)\equiv 0\ mod\ m r1r2⋯rφ(m)(aφ(m)−1)≡0 mod m
又从 ( r 1 , m ) = 1 , ( r 2 , m ) = 1 , ⋯ , ( r φ ( m ) , m ) = 1 (r_1,m)=1,(r_2,m)=1,\cdots ,(r_{\varphi(m)},m)=1 (r1,m)=1,(r2,m)=1,⋯,(rφ(m),m)=1可以推出 r 1 r 2 ⋯ r φ ( m ) r_1 r_2\cdots r_{\varphi(m)} r1r2⋯rφ(m)与 m m m互素，即
( r 1 r 2 ⋯ r φ ( m ) , m ) = 1 (r_1 r_2\cdots r_{\varphi(m)},m)=1 (r1r2⋯rφ(m),m)=1
所以
a φ ( m ) − 1 ≡ 0 m o d n a^{\varphi(m)}-1\equiv 0\ mod\ n aφ(m)−1≡0 mod n
即
a φ ( m ) ≡ 1 m o d n a^{\varphi(m)}\equiv 1\ mod\ n aφ(m)≡1 mod n