数学(论)里的一些定理(莫比乌斯反演,傅立叶变换,数论变换...)

莫比乌斯反演

莫比乌斯反演在数论中占有重要的地位,许多情况下能大大简化运算。那么我们先来认识莫比乌斯反演公式。

 

定理:是定义在非负整数集合上的两个函数,并且满足条件,那么我们得到结论

 

     

 

在上面的公式中有一个函数,它的定义如下:

 

    (1)若,那么

    (2)若均为互异素数,那么

    (3)其它情况下

 

 

对于函数,它有如下的常见性质:

 

    (1)对任意正整数

  

                            

 

        (2)对任意正整数

 

         

 

线性筛选求莫比乌斯反演函数代码。

void Init()
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    mu[1] = 1;
    cnt = 0;
    for(int i=2; i

有了上面的知识,现在我们来证明莫比乌斯反演定理。

证明

证明完毕!

嗯,有了莫比乌斯反演,很多问题都可以简化了,接下来我们来看看莫比乌斯反演在数论中如何简化运算的。

题目:http://bz.cdqzoi.com/JudgeOnline/problem.php?id=2818

题意:给一个正整数,其中,求使得为质数的的个数,

分析:对于本题,因为是使得为质数,所以必然要枚举小于等于的质数,那么对于每一个质数,只

     需要求在区间中,满足有序对互质的对数。

     也就是说,现在问题转化为:在区间中,存在多少个有序对使得互质,这个问题就简单啦,因为

     是有序对,不妨设,那么我们如果枚举每一个,小于有多少个互素,这正是欧拉函数。所以

     我们可以递推法求欧拉函数,将得到的答案乘以2即可,但是这里乘以2后还有漏计算了的,那么有哪些呢?

     是且为素数的情况,再加上就行了。

代码:

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 10000010;

bitset prime;
LL phi[N];
LL f[N];
int p[N];
int k;

void isprime()
{
    k = 0;
    prime.set();
    for(int i=2; i>= 1;
    for(int i=3; i

上题不算太难,普通的欧拉函数就可以搞定,接下来我们来看看它的升级版。


题意:给定两个数,其中,求为质数的有多少对?其中的范

     围是

 

分析:本题与上题不同的是不一定相同。在这里我们用莫比乌斯反演来解决,文章开头也说了它能大大简化

     运算。我们知道莫比乌斯反演的一般描述为:

 

     

 

     其实它还有另一种描述,本题也是用到这种。那就是:

 

     

 

     好了,到了这里,我们开始进入正题。。。

 

     对于本题,我们设

 

     为满足的对数

     为满足的对数

 

     那么,很显然,反演后得到

 

     因为题目要求是为质数,那么我们枚举每一个质数,然后得到

 

     

 

     如果直接这样做肯定TLE,那么我们必须优化。

 

     我们设,那么继续得到

 

     到了这里,可以看出如果我们可以先预处理出所有的对应的的值,那么本题就解决了。

 

     我们设,注意这里为素数,

 

     那么,我们枚举每一个,得到,现在分情况讨论:

 

     (1)如果整除,那么得到

 

       

 

     (2)如果不整除,那么得到

 

       

代码:

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 10000005;

bool vis[N];
int p[N];
int cnt;
int g[N],u[N],sum[N];

void Init()
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    u[1] = 1;
    cnt = 0;
    for(int i=2;i>n>>m;
        if(n > m) swap(n,m);
        LL ans = 0;
        for(int i=1,last;i<=n;i=last+1)
        {
            last = min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans += (n/i)*(m/i)*(sum[last]-sum[i-1]);
        }
        cout<

多项式乘法运算初级版——快速傅里叶变换

快速傅里叶变换在信息学竞赛中主要用于求卷积,或者说多项式乘法。我们知道,多项式乘法的普通算法时间复杂度

,通过快速傅里叶变换可以使时间降为,那么接下来会详细介绍快速傅里叶变换的原理。

 

首先来介绍多项式的两种表示方法,即系数表示法点值表示法。从某种意义上说,这两种方法是等价的。先设

    

(1)系数表示法

 

    对于一个次数界为的多项式来说,其系数表示法就是一个由系数组成的向量,很

    明显,这样的多项式乘法运算的时间复杂度为

 

(2)点值表示法

 

    对于一个次数界为的多项式来说,其点值是个点值对所形成的集合

 

    

 

    其中各不相同,并且当时,有。可以看出一个多项式可以有多种不同的点值

    表示法,而通过这个不同的点值对可以表示一个唯一的多项式。而通过点值表示法来计算多项式的乘法,时间

    复杂度为

 

    从原则上来说,计算多项式的点值是简单易行的,因为我们只需要先选取个相异的点,然后通过秦九韶算法

    以在时间内求出所有的,实际上如果我们的选得巧妙的话,就可以加速这一过程,使其运行时间变

    为

 

    根据多项式的系数表示法求其点值表示法的过程称为求值,而根据点值表示法求其系数表示法的过程称为插值

 

    对于求卷积或者说多项式乘法运算问题,先是通过傅里叶变换对系数表示法的多项式进行求值运算,这一步的时

    间复杂度为,然后在时间内进行点值相乘,再进行插值运算。

 

那么,接下来就是我们今天的重点了,如何高效地对一个多项式进行求值运算,即将多项式的表示法变为点值表示法。

 

如果选取单位复根作为求值点,则可以通过对系数向量进行离散傅里叶变换(DFT),得到相应的点值表示。同样地

也可以通过对点值对进行逆DFT运算,获得相应的系数向量。DFT逆DFT的时间复杂度均为

 

一. 求DFT

 

    选取次单位复根作为来求点值是比较巧妙的做法。

    次单位复根是满足的复数次单位复根恰好有个,它们是,为

    了解释这一式子,利用复数幂的定义,值称为主次单位根,所有其

    它次单位复根都是次幂。

 

    次单位复根在乘法运算下形成一个群,该群的结构与加法群相同。

 

    接下来认识几个关于次单位复根的重要性质。

   

    (1)相消引理

 

        对于任何整数,有

 

    (2)折半引理

 

        如果且为偶数,则

 

    (3)求和引理

 

        对任意整数和不能被整除的非零整数,有

 

          

 

     回顾一下,我们希望计算次数界为的多项式

 

     

 

     在处的值,假定2的幂,因为给定的次数界总可以增大,如果需要,总可以添加值为零

     的新的高阶系数。假定已知的系数形式为,对,定义结果

     如下

                 

     向量是系数向量的离散傅里叶变换,写作

     通过使用一种称为快速傅里叶变换(FFT)的方法,就可以在时间内计算出,而直接

     计算的方法所需时间为FFT主要是利用单位复根的特殊性质。FFT方法运用了分治策略,它用

     中偶数下标的系数与奇数下标的系数,分别定义了两个新的次数界为的多项式

     

     则进一步有

 

     这样处的值得问题就转换为求次数界为的多项式在点

     处的值。由于在奇偶分类时导致顺序发生变化,所以需要先通过Rader算法进行

     倒位序,在FFT中最重要的一个操作是蝴蝶操作,通过蝴蝶操作可以将前半部分和后半部分的值求出。

 

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1402

题意:大数乘法,需要用FFT实现。

代码:

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
const int N = 500005;
const double PI = acos(-1.0);

struct Virt
{
    double r, i;

    Virt(double r = 0.0,double i = 0.0)
    {
        this->r = r;
        this->i = i;
    }

    Virt operator + (const Virt &x)
    {
        return Virt(r + x.r, i + x.i);
    }

    Virt operator - (const Virt &x)
    {
        return Virt(r - x.r, i - x.i);
    }

    Virt operator * (const Virt &x)
    {
        return Virt(r * x.r - i * x.i, i * x.r + r * x.i);
    }
};

//雷德算法--倒位序
void Rader(Virt F[], int len)
{
    int j = len >> 1;
    for(int i=1; i> 1;
        while(j >= k)
        {
            j -= k;
            k >>= 1;
        }
        if(j < k) j += k;
    }
}

//FFT实现
void FFT(Virt F[], int len, int on)
{
    Rader(F, len);
    for(int h=2; h<=len; h<<=1) //分治后计算长度为h的DFT
    {
        Virt wn(cos(-on*2*PI/h), sin(-on*2*PI/h));  //单位复根e^(2*PI/m)用欧拉公式展开
        for(int j=0; j=0; i--)
    {
        if(result[i])
        {
            high = i;
            break;
        }
    }
    for(int i=high; i>=0; i--)
        printf("%d",result[i]);
    puts("");
}

int main()
{
    while(~scanf("%s%s",str1,str2))
    {
        Init(str1,str2);
        Work();
        Export();
    }
    return 0;
}

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4609

题意:给定n条长度已知的边,求能组成多少个三角形。

分析:用一个num数组来记录次数,比如num[i]表示长度为i的边有num[i]条。然后对num[]求卷积,除去本身重

     复的和对称的,然后再整理一下就好了。

代码:

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 400005;
const double PI = acos(-1.0);

struct Virt
{
    double r,i;

    Virt(double r = 0.0,double i = 0.0)
    {
        this->r = r;
        this->i = i;
    }

    Virt operator + (const Virt &x)
    {
        return Virt(r+x.r,i+x.i);
    }

    Virt operator - (const Virt &x)
    {
        return Virt(r-x.r,i-x.i);
    }

    Virt operator * (const Virt &x)
    {
        return Virt(r*x.r-i*x.i,i*x.r+r*x.i);
    }
};

//雷德算法--倒位序
void Rader(Virt F[],int len)
{
    int j = len >> 1;
    for(int i=1; i> 1;
        while(j >= k)
        {
            j -= k;
            k >>= 1;
        }
        if(j < k) j += k;
    }
}

//FFT实现
void FFT(Virt F[],int len,int on)
{
    Rader(F,len);
    for(int h=2; h<=len; h<<=1) //分治后计算长度为h的DFT
    {
        Virt wn(cos(-on*2*PI/h),sin(-on*2*PI/h));  //单位复根e^(2*PI/m)用欧拉公式展开
        for(int j=0; j>= 1;
    sum[0] = 0;
    for(int i=1; i<=len; i++)
        sum[i] = sum[i-1] + num[i];
    LL cnt = 0;
    for(int i=0; i

多项式乘法运算终极版——NTT(快速数论变换)

在上一篇文章中 http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/39005227 介绍了用快速傅里叶变

换来求多项式的乘法。可以发现它是利用了单位复根的特殊性质,大大减少了运算,但是这种做法是对复数系数的矩阵

加以处理,每个复数系数的实部和虚部是一个正弦及余弦函数,因此大部分系数都是浮点数,我们必须做复数及浮点数

的计算,计算量会比较大,而且浮点数的计算可能会导致误差增大。

 

今天,我将来介绍另一种计算多项式乘法的算法,叫做快速数论变换(NTT),在离散正交变换的理论中,已经证明在

复数域内,具有循环卷积特性的唯一变换是DFT,所以在复数域中不存在具有循环卷积性质的更简单的离散正交变换。

因此提出了以数论为基础的具有循环卷积性质的快速数论变换

 

回忆复数向量,其离散傅里叶变换公式如下

 

   

 

离散傅里叶逆变换公式为

 

   

 

今天的快速数论变换(NTT)是在上进行的,在快速傅里叶变换(FFT)中,通过次单位复根来运算的,即满

,而对于快速数论变换来说,则是可以将看成是的等价,这里是模素数

的原根(由于是素数,那么原根一定存在)。即

 

        

 

所以综上,我们得到数论变换的公式如下

 

    

 

数论变换的逆变换公式为

 

    

 

这样就把复数对应到一个整数,之后一切都是在系统内考虑。

 

上述数论变换(NTT)公式中,要求是素数且必须是的因子。由于经常是2的方幂,所以可以构造形

的素数。通常来说可以选择费马素数,这样的变换叫做费马数数论变换

 

这里我们选择,这样得到模的原根值为

 

题目:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1028

分析:题目意思就是大数相乘,此处用快速数论变换(NTT)实现。

代码:

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 1 << 18;
const int P = (479 << 21) + 1;
const int G = 3;
const int NUM = 20;

LL  wn[NUM];
LL  a[N], b[N];
char A[N], B[N];

LL quick_mod(LL a, LL b, LL m)
{
    LL ans = 1;
    a %= m;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            ans = ans * a % m;
            b--;
        }
        b >>= 1;
        a = a * a % m;
    }
    return ans;
}

void GetWn()
{
    for(int i=0; i> 1;
    for(int i=1; i> 1;
        while(j >= k)
        {
            j -= k;
            k >>= 1;
        }
        if(j < k) j += k;
    }
}

void NTT(LL a[], int len, int on)
{
    Rader(a, len);
    int id = 0;
    for(int h = 2; h <= len; h <<= 1)
    {
        id++;
        for(int j = 0; j < len; j += h)
        {
            LL w = 1;
            for(int k = j; k < j + h / 2; k++)
            {
                LL u = a[k] % P;
                LL t = w * (a[k + h / 2] % P) % P;
                a[k] = (u + t) % P;
                a[k + h / 2] = ((u - t) % P + P) % P;
                w = w * wn[id] % P;
            }
        }
    }
    if(on == -1)
    {
        for(int i = 1; i < len / 2; i++)
            swap(a[i], a[len - i]);
        LL Inv = quick_mod(len, P - 2, P);
        for(int i = 0; i < len; i++)
            a[i] = a[i] % P * Inv % P;
    }
}

void Conv(LL a[], LL b[], int n)
{
    NTT(a, n, 1);
    NTT(b, n, 1);
    for(int i = 0; i < n; i++)
        a[i] = a[i] * b[i] % P;
    NTT(a, n, -1);
}

void Transfer(LL a[], int n)
{
    int t = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        a[i] += t;
        if(a[i] > 9)
        {
            t = a[i] / 10;
            a[i] %= 10;
        }
        else t = 0;
    }
}

void Print(LL a[], int n)
{
    bool flag = 1;
    for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
    {
        if(a[i] != 0 && flag)
        {
            printf("%d", a[i]);
            flag = 0;
        }
        else if(!flag)
            printf("%d", a[i]);
    }
    puts("");
}

int main()
{
    GetWn();
    while(scanf("%s%s", A, B)!=EOF)
    {
        int len;
        Prepare(A, B, a, b, len);
        Conv(a, b, len);
        Transfer(a, len);
        Print(a, len);
    }
    return 0;
}


转载于:https://www.cnblogs.com/tham/p/6827175.html

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