正交频分复用（OFDM）入门

OFDM的存在意义##

水声信道是复杂多变的，时变，空变，加上严重的多径效应，使得信道的冲激响应表现为时延的扩展和频率的选择性等特点（无线通信中也有类似场景）。那么这种信道对通信信号的具体表现为较强的码间干扰（ISI）。所谓码间干扰就是某一时刻的符号受到了其他符号的干扰或影响。为什么会产生这种现象呢？从频域的角度来看很好理解，我们先假设信道是一个理想的信道，即其幅度为一个常数，相位线性变化，那么当信号通过信道时，不会发生畸变，发送的符号（波形）与接收的符号（波形）是一样的（假设已经完成同步），这时接收端只需判决解码就OK了；现实中理想的信道时不存在的，所以信道的频率响应必然会发生改变（相比理想的来说），幅度会有起伏，相位也可能非线性变化，那么在时域信号就会发生畸变，最明显的就是时延的扩展，最终导致不同符号间就会产生串扰。对多径信道来说这种现象更为严重，从时域的冲激响应来看也很直观。
　　对传统的单载波传输系统，为了克服ISI对通信效果的影响，发射端一般会根据奈奎斯特准则设计整形脉冲 $g(t)$，接收端则采用信道估计及均衡技术（今后会单独解释这两部分）来消除ISI，再结合纠错码（信道编码）实现可靠的通信。
　　OFDM，正交频分复用，是一种多载波传输系统。相比单载波，它可以有效地克服ISI，提高频带的利用率，实现高速通信。

OFDM如何克服ISI？##

OFDM，正交频分复用，Orthogonal Frequency Division Multiplexing，我们顾名思义，所谓频分复用就是将频带分成多个子带来利用，与此对应还有时分复用，码分复用。下边我用几个简单的公式来说明。
　　OFDM是一种多载波调制方式， 多个载波等分频带，我们设频带宽度为$B$，载波个数为$K$，那么每个子载波的带宽是$\Delta f=B/K$，中心频率为fcf_cfc​，那么每个子载波频率为
　　fk=fc+kΔf，k=−K2,⋯ ,K2−1 f_k=f_c+k\Delta f， k=-\frac K2,\cdots,\frac K2 -1fk​=fc​+kΔf，k=−2K​,⋯,2K​−1
在时域来看，发射脉冲（脉冲整形函数）通常是一个矩形脉冲，众所周知，矩形脉冲的傅里叶变换为$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}$函数， 带宽与脉宽互为倒数。如果我们采取单载波传输，那么符号间隔（传输时间）就为Ts=1/BT_s=1/BTs​=1/B。如果采取OFDM多载波传输方式，每个载波占用带宽为$\Delta f$， 符号间隔为Tm=1/Δf=KTST_m=1/\Delta f =KT_STm​=1/Δf=KTS​，因为每一个子载波在时域的持续时间都为TmT_mTm​，所以可以实现$K$个符号的并行传输。相比单载波，每个符号的传输扩大了$K$倍（假设载波调制方式和阶数均相同，如都为QPSK或16QAM调制），但是传输的信息量也扩大了$K$倍，频带的利用率也大大增加了。
　　那么OFDM是 如何克服ISI的呢，我们做进一步分析。考虑单载波传输，我们假设信道引起码间干扰的长度是10，怎么理解呢？从接收端来看，就是当前时刻接收的码元与之前的10个码元都有关。上面我们提到，码间干扰是由信道的扩展和畸变引起的，接收到的信号是发射信号与信道冲激响应的线性卷积，由信号与系统的知识，两个长度为$L$和$m$的序列卷积得到的序列长度为$L+m-1$。那么，如果发送信号的码元间隔为TsT_sTs​，信道的时延扩展有10Ts10T_s10Ts​。在这种条件下，若采用OFDM传输，OFDM的符号间隔为Tm=KTsT_m=KT_sTm​=KTs​，通常$K$的取值，即子载波个数可以达到几百甚至上千（在水声通信中）。我们假设$K=512$，那么由信道引起的这10个码元长度的扩展10Ts10T_s10Ts​相比512Ts512T_s512Ts​的符号间隔，比例只有$10/512\approx 0.02$，可以说OFDM对ISI的容限，或者说容忍度比较大，这大大克服了ISI的影响，这也是为什么OFDM可以抗多径的主要原因。
　　上面主要是从时域去考虑的，我们从频域去考虑。多径信道通常是一种快衰落的频率选择性（就是频域的衰落程度与频率有关，不同的频率衰落程度不同）信道，可以去MATLAB中做一个频谱分析就看出来了。想象一下微积分原理，任何一条曲线，只要分割的足够小，都可以看作直线，甚至是水平的。带宽为$B$的频带，想象它是杂乱无章的，波动很大，现在我们把它拆分成$K$个子带，那么在每一个子带中，频率响应可以看作是缓慢变化的，也就是平坦衰落（是否平坦和信道的相干带宽有关，感兴趣可以深入了解），更极端一点，可以当做理想的，所以每一个子载波经过信道对应的子带时都不会发生太大的变化，也就实现了无ISI的传输。

OFDM的弱点

任何技术都是两面的，有优势必然也有劣势，而我们的任务一直是在多种技术的优势和劣势中去做平衡。在上一小节我其实只粗略的介绍了OFDM的频分复用特点，并没有说它的正交性。正交是OFDM的大前提，是OFDM中的O。
　　上一节我们提到，每一个子载波在时域的宽度为Tm=KTsT_m=KT_sTm​=KTs​，发送的脉冲（整形脉冲）是矩形脉冲，它在频域的表现为$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}$函数，所以$K$个子载波在频域一共应有$K$个形如$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}$函数的子带共同构成一个带宽为$B$的频带。这里注意一点，因为时域是有限长的，所以这$K$个子带在频域是无限长的，那么如何分布才能让这$K$个子带对应的$K$个子载波互不干扰呢，自然而然就是让他们正交。原理类似于奈奎斯特准则，让每个子带的峰值对应于各自子载波频率fkf_kfk​，在fkf_kfk​处，其他子带对应的$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}$函数值为0，即可满足正交性。
　　很容易想象，当信道时变并在频域产生多普勒扩展时，这种正交性很容易被打破，若整个频带发生的载波频率偏移（CFO）一致，正交性依然满足，但通常各个频点的偏移是不同的，正交性一旦被打破，就会产生子载波间的干扰，所以一般在接收端还会对信道及其多普勒进行估计和补偿。
　　除此之外，$K$个子载波在同一个时域间隔内并行传输，当多个子载波在某个位置相位相同时，会导致时域信号的幅值突然增高，引起较高的峰均比，导致发射机限幅，导致信号失真。

---

近来比较忙，仓促之中完成，主要面向的对象是帮助入门级选手理解框架，因为博主也是接触相关内容不久，多有不足之处，请大家指正。