关于matlab中用fft分析信号频谱为何要乘2/N的思考

 注意到用matlab分析信号频谱时必须要乘个2/N才能得到正确的幅度谱幅值，如下：

A=50;       % A 幅度值
fs=500; % fs 采样率
F=50;   % F 频率,小于采样率的一半（奈奎斯特）
N=100;   % N 采样个数
dt=1/fs;    %时间间隔
t=0:dt:(N-1)*dt;    %时间向量
freqPixel=fs/N;     %频率分辨率，即点与点之间频率单位
y=A*sin(2*pi*F*t);	%正弦波
%信号频谱
freq=fft(y,N)*2/N;%做离散傅里叶
freq_d=abs(fftshift(freq));
w=(-N/2:1:N/2-1)*fs/N; %双边  
plot(w,freq_d);

可以看到结果正确

之后查询书本发现，我之前以为信号x(n)的DFT变换X（K）的幅值就是其频谱幅值，这个想法是错误的！

首先，DFT的定义为： 

由于的周期性，所以DFT具有隐含周期性，X(K)实质上是x(n)的以N为周期延拓的序列x((n))N的离散傅里叶级数的频谱特性，故要搞清楚DFT与其模拟信号频谱的关系还要从周期序列傅里叶变换入手；

由，则有

 即

，

到这一步可以看出，模拟信号傅里叶变换是将信号以正弦信号为形式的各次谐波，而正弦信号的傅里叶变换与其DFT之间正好差一个2/N的系数

以上只是我的个人理解，如有错误还请指正，谢谢阅读！