【笔记整理】数字信号处理复习——FT、DTFT、DFT和FFT之间的关系

FT、DTFT、DFT和FFT之间的关系

FT(傅立叶变换：Fourier transform)

对于一个模拟信号，要分析它的频率成分，必须变换到频域，通过傅立叶变换可以得到模拟信号的频谱。
模拟信号的傅立叶变换：
$$x(t)\stackrel{FT}{\leftrightarrow }X(j\Omega )={\int }_{\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j\Omega t}dt$$

DTFT(离散时间傅立叶变换：discrete time Fourier transform)

计算机只能处理数字信号，要将模拟信号在时域离散化，即在时域对其进行采样

$$x(n)\stackrel{DTFT}{\leftrightarrow }X(j\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

强调的是离散时间：时域是离散的，而频域依然是连续的，并且是周期的

• 采样具体过程
  • 采样脉冲序列：
    $${\delta }_T(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_s)\leftrightarrow {\delta }_T(\omega )=\frac{1}{T_s}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -n{\omega }_s)$$
  • 时域采样，即信号与时域单位冲激序列进行相乘：
    $$x(t)\cdot {\delta }_T(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n{T}_s)\delta (t-n{T}_s)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi }X(\omega )\ast {\delta }_T(\omega )=\frac{1}{2\pi T_s}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X(\omega -n{\omega }_s)$$

DFT(离散傅立叶变换：discrete Fourier tranform)

经过时域采样信号依然不能被计算机处理，因为在频域上，离散事件傅立叶变换既连续，又周期。因此进行频域采样。
DFT是对有限长序列的傅立叶变换，是将傅立叶变换在时域和频域进行离散化，便于计算机处理
$$x(n)\stackrel{DFT}{\leftrightarrow }X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi }{N}nk}=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk}$$

FFT(快速傅里叶变换：fast Fourier transform)

把原始的$N$点序列，一次分解成一系列的短序列。充分利用DFT计算式中指数因子所具有的对称性和周期性，进而求出这些短序列相应的DFT并进行适当组合，删除重复计算，减少复数乘法运算和复数加法运算的目的==【重要！！！掌握原理】==

• $N$点DFT复杂度

  • 复数乘法$N^2$次
  • 复数加法$(N-1)N$次

• $N$点FFT复杂度

  • 复数乘法$\frac{N}{2}{\log }_{2}N$
  • 复数加法$N{\log }_{2}N$

• 计算FFT的方法：

  • 时间抽取（时域信号序列按奇偶分排）
  • 频率抽取（频域信号序列按奇偶分排）

各种变换时域和频域的特点

• 傅立叶级数(FS: Fourier series)：时域周期连续信号，频域离散非周期信号
• 傅立叶变换(FT: Fourier transform)：时域非周期连续信号，频域连续非周期信号
• 离散时间傅立叶变换(DTFT: discrete time Fourier transform)：时域离散非周期信号，频域周期连续信号
• 离散傅立叶变换(DFT: discrete Fourier transform)：时域离散周期信号，频域周期离散信号

引出以下几个问题：

DTFT和DFT的区别和联系

1. DTFT是离散时间傅立叶变换；DFT是离散傅里叶变换
2. DTFT变换后的频率响应一般是连续的
   $$x(n)\stackrel{DTFT}{\leftrightarrow }X(j\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$
   DFT是DTFT以$2\pi$为周期做等间隔抽样并且取主值序列，DFT变换后的频率响应一般是离散的
   $$x(n)\stackrel{DFT}{\leftrightarrow }X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi }{N}nk}=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk}$$
3. DTFT的$X(j\omega )$是以$2\pi$为周期；DFT的$X[k]$序列是有限长的
4. DTFT是以复指数序列$e^{-j\omega n}$的加权来表示的；而DFT是等间隔抽样，也就是说，将一个圆周$2\pi$分成$N$个等分，一般用旋转因子$W_N=e^{-j\frac{2\pi }{N}}$来表示
5. DTFT和DFT都能够表征元序列的信息。由于计算机只能处理数字信号，因此需要将模拟信号进行时域采样，变成DTFT后，在时域上是离散的，但在频域上是周期连续的，因此需要将频域的信号进行频域抽样。也就是说DFT是为了计算机处理方便，在频率域对DTFT进行的采样并截取主值序列。

离散傅里叶变换DFT和DTFT之间的关系？

• DTFT（离散时间傅里叶变换）
  $$x(n)\stackrel{DTFT}{\leftrightarrow }X(j\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$
• DFT（离散傅里叶变换——有限长序列的离散傅里叶变换）
  $$x(n)\stackrel{DFT}{\leftrightarrow }X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{kn}$$
• 因此可以得到关系：
  $$X[k]=X(j\omega ){|}_{\omega =\frac{2\pi }{N}k}$$
• 语言描述：序列的$N$点DFT是离散时间傅里叶变换在频率区间$[0,2\pi ]$上的$N$点等间隔采样，采样间隔为$\frac{2\pi }{N}$

离散傅里叶变换DFT和z变换的关系？

• DFT（离散傅里叶变换——有限长序列的离散傅里叶变换）
  $$x(n)\stackrel{DFT}{\leftrightarrow }X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{kn}$$
• z变换
  $$x(n)\stackrel{ZT}{\leftrightarrow }X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n}$$
• 因此可以得到关系：
  $$X[k]=X(z){|}_{z=e^{j\frac{2\pi }{N}k}}$$
• 语言描述：序列的$N$点DFT是z变换的单位圆上的$N$点等间隔采样，采样间隔为$\frac{2\pi }{N}$